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Os
números
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No
texto 4 - Matemática
na Grécia Antiga - o formador, José
Miguel Sousa, escreveu:
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O
raciocínio matemático dos gregos baseava-se, quase unicamente,
nas formas e figuras geométricas. Um segmento de recta
representava também o seu próprio comprimento; o produto de dois
segmentos de recta representava uma área rectangular; o produto
de três segmentos de recta representava um volume paralelepipédico.
Isto é, efectuavam as operações aritméticas através das
construções geométricas, por exemplo, se x e y representavam
dois segmentos, então xy era a área do rectângulo de lados x e
y. |
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Consultado
os Elementos, na versão
de Joyce, podemos verificar que os Livros relativos à teoria
dos números são os Livros VII, VIII e IX. O Livro VII começa com as 22
definições que são utilizadas nesses livros. A seguir, transcrevem-se 5
dessas definições, que começam por consubstanciar a afirmação acima
escrita:
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Definitions 15 through 19
Def. 15. A number is said to multiply
a number when that which is multiplied is added to itself as many
times as there are units in the other.
Def. 16. And, when two numbers having
multiplied one another make some number, the number so produced be
called plane, and its sides are the numbers which
have multiplied one another.
Def. 17. And, when three numbers having
multiplied one another make some number, the number so produced be
called solid, and its sides are the numbers which
have multiplied one another.
Def. 18. A square number is equal
multiplied by equal, or a number which is contained by two equal
numbers.
Def. 19. And a cube is equal
multiplied by equal and again by equal, or a number which is
contained by three equal numbers. |
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| Observe-se que Euclides não define a adição e a subtracção. Aquelas operações são supostas ser compreendidas. Mas a multiplicação e a proporção
(VII.Def.20)
são definidas. A definição 15 define a multiplicação em termos da adição como um tipo
de composição. Por exemplo, se 3 é multiplicado por 6, dado
que 6 é 1+1+1+1+1+1, consequentemente, 3 multiplicado por 6 é 3+3+3+3+3+3.
A primeira proposição relativa à multiplicação é VII.16 que
afirma que a multiplicação é comutativa. Para o exemplo acima, diria
que 3 multiplicado por 6 é igual a 6 multiplicado por 3, que é 6+6+6.
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Números
figurados
Embora Euclides nunca indicasse números
excepto como linhas, os Pitagóricos antes dele fizeram-no, indicando
números como figuras. As figuras eram de várias formas, tais como triângulos, quadrados, e assim por diante. As definições 16 a 19
tratam de números figurados, mas sem as figuras. Euclides define um
número plano como um número que é o produto de dois números.
É de recordar que para Euclides, 1 é a unidade, não um número,
por isso um número primo não é um número plano, mesmo que seja um produto de 1 e
ele próprio. |
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| Os números planos são os números compostos. Cada número composto pode ser um
número plano em ao menos uma forma única, mas na maioria
das vezes em mais do que uma forma. Por exemplo, 16 pode ser
visto como um número plano com lados 2 e 8 ou com lados 4 e 4, isto é, como um
número quadrado. Os números planos podem ser representados
como configurações rectangulares de pontos. Alternativamente, estes
números rectangulares podem ser indicados como uma configuração
de quadrados. Mas muitos dos outros números figurados, tais como
os números triangulares, apenas podem ser representados
facilmente por pontos. |
| A definição 18 define
números sólidos. Para o exemplo acima, se 18 for
representado como 3 vezes 3 vezes 2, é dado então como um número
sólido com três lados 3, 3, e 2. Os números sólidos
podem ser representados como uma configuração de pontos ou de cubos
a três dimensões. Naturalmente, alguns números, tais como 64, podem ser simultaneamente
quadrados e cubos. |
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| Do Guia
(Def.15) do Livro VII, de Joyce |
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Álgebra
geométrica
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Comecemos
por ler este interessante extracto do matemático Francisco Gomes
Teixeira, retirado da Introdução de HISTÓRIA
DAS MATEMÁTICAS EM PORTUGAL.
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No que respeita às Matemáticas, cuja fundação
constitue a mais sólida glória do povo helénico, legou-nos êle
a Aritmética, a Álgebra, a Geometria, a Mecânica e a
Astronomia, e os trabalhos que sôbre estas ciências nos deixou,
são, pela finura da arte e pelos primores de imaginação a Ilíada
de tais ciências; e são ainda, pela essência, a base em que
assentou o que depois se escreveu sôbre elas.
Com as palavras célebres: Deus fêz o Mundo por conta, pêso e
medida, pôs Salomão um problema imenso que os Gregos começaram
a estudar sistemàticamente, criando a ciência dos números.
Abriu-a Tales de Mileto; continuaram-na Pitágoras e Platão, que
proclamou a sua importância, escrevendo à porta da sua Escola: aqui
não entra quem não fôr geómetra; desenvolveu-a Eudoxo de
Cnido; fizeram-na brilhar com esplendor Euclides, Archimedes, Apolónio,
Diofante e Papo; aplicaram-na com engenho Hiparco, Herão e
Ptolomeu.
É bom notar, antes de prosseguir, que a fundação da ciência
dos números tinha sido preparada principalmente por sacerdotes do
Egipto e da Caldêa com factos e regras aritméticas e com medidas
geométricas e astronómicas, que conhecemos por meio de
documentos antigos e de particularidades arquitectónicas dos
monumentos que construiram. Esta Matemática empírica foi a
alvorada da Matemática teórica que depois nasceu.
Encanta o espírito recordar o que há de grande e belo nos
teoremas, hipóteses e teorias da ciência dos Helenos e é isto
mesmo necessário a quem quiser apreciar como, continuando a sua
obra, se subiu das doutrinas dos gigantes da ciência antiga às
dos gigantes da ciência moderna, das doutrinas de Euclides, Apolónio
e Diofante às de Viete, Descartes, Pascal e Fermat, das doutrinas
de Híparco e Ptolomeu às de Copernico e Kepler, das doutrinas de
Aristóteles, Archimedes e Herão às de Galileu, Huigens, Leibniz
e Newton ligando assim o período áureo da ciência do passado ao
famoso século XVII, o período áureo da ciência moderna.
Enumeremos pois aqui as obras dos matemáticos e físicos helénicos
que mais influência tiveram sôbre a ciência dos povos que
vieram depois, e lhe serviram de fundamento.
Recordemos em primeiro lugar os Elementos de
Geometria de Euclides, reünião sistemática das proposições
sôbre esta ciência que no seu tempo se conheciam e de outras que
êle próprio inventou; obra admirada pelos matemáticos e filósofos
de todos os países e de todos os tempos pela pureza do estilo
geométrico e pela concisão luminosa da forma; modêlo lógico
para tôdas as ciências físicas pelo rigor das demonstrações e
pela maneira como são postas as bases da Geometria em conceitos
fundamentais, apresentados sob o nome de definições, axiomas e
postulados.
Nesta mesma obra aparece, sob forma geométrica, a origem da Álgebra,
com a resolução das equações do segundo grau. É bem sabido
que os antigos matemáticos gregos, tendo a noção de grandeza
incomensurável, mas não tendo a noção correspondente de número
irracional, constituiram a Matemática sob forma geométrica,
considerando em vez de números, segmentos de recta, para assim
abrangerem nas suas teorias as grandezas comensuráveis, e
portanto os números racionais e as grandezas incomensuráveis.
As últimas páginas do livro segundo dos Elementos do
grande lógico de Alexandria contêm, com efeito, os teoremas
necessários para a construção das raizes das equações do
segundo grau definidas geomètricamente. Foram estes os primeiros
vagidos da Álgebra, que depois, tomando forma algarítmica e
crescendo mais e mais, levou nas suas asas às alturas, em vôos
soberbos, a Geometria, a mãe que a criara. |
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Fonte: http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/livrogt/intro.html#As%20Matematicas%20na%20Antiguidade
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O
Livro II apresenta catorze proposições que lidam com transformações de
áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica, que inclui os
equivalentes geométricos de muitas identidades algébricas. A matéria
apresentada no Livro II é chamada geralmente "álgebra geométrica".
As suas primeiras dez proposições podem facilmente ser interpretadas na notação algébrica moderna. Naturalmente,
que ao fazer assim o sabor geométrico das proposções é perdido.
Todavia, expondo-as na forma algébrica pode ajudar a compreendê-las. As equações são
todas equações quadráticas, dado que a geometria é geometria plana.
Segundo
Joyce, podemos sintetizar as 14 proposições desde livro desta forma:
| Proposição |
Interpretação
algébrica moderna |
| II.1. |
Se y = y1 + y2 + ... + yn,
então xy = x y1 + x
y2 + ... + x yn. |
| II.2. |
Se x = y + z,
então x2 = xy + xz. |
| II.3. |
Se x = y + z,
então xy = yz + y2. |
| II.4. |
Se x = y + z,
então x2 = y2 + z2 + 2yz. |
| II.5
e II.6. |
(y + z)
(y – z) + z2 = y2. |
| II.7. |
Se x = y + z,
então x2 + z2 = 2xz + y2. |
| II.8. |
Se x = y + z,
então 4xy + z2 = (x + y)2. |
| II.9
e II.10. |
(y + z)2 + (y – z)2 = 2
(y2 + z2). |
| II.11. |
Corta uma
linha em duas partes, que resolve geometricamente
a equação a (a – x) = x2
. |
| II.12
e II.13 |
São
reconhecidas como formas geométricas da lei dos cosenos,
que é uma generalização de I.47
(Teorema de Pitágoras). |
| II.14 |
Constrói
um quadrado igual a uma figura rectilínea, completando
a teoria de áreas iniciada no Livro I. |
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(Versão digital)
Gomes Teixeira
(1851-1933)
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HISTÓRIA
DA ÁLGEBRA
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O
portal brasileiro Só
Matemática, na
secção Material de Apoio > História de Matemática, inclui uma
visão geral sobre a História da Álgebra, onde refere a
álgebra geométrica grega.
É uma adaptação dessa mesma referência,
onde se apontam algumas razões para este tipo de formulação
geométrica, que se deixa aqui registada:
Álgebra
geométrica grega
A álgebra grega
conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica.
Por exemplo, o que nós escrevemos como (a+b)2
= a2 + 2ab + b2
era concebido pelos gregos em
termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente
enunciado por Euclides em Elementos, livro
II, proposição 4. Somos
tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2
era realmente um quadrado.
Não há dúvida de que
os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilónica e, de fato,
seguiam os métodos-padrão babilónios de resolução de equações.
Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para
ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilónio:
Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura,
obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32.
Pede-se: comprimento e largura. [1]
Do livro VI dos Elementos,
temos a
proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha recta
AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um rectângulo
com uma dada área [xy = P], admitindo que o rectângulo
"fique aquém" em AB por uma quantidade
"preenchida" por outro rectângulo [o
quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado rectângulo [que
aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].
Na solução desta
construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exactamente
paralelo à solução babilónica do problema equivalente.[2]
É de facto notável que
a maior parte dos problemas-padrão babilónicos tenham sido
"refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que
levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação
desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades
conceituais com fracções e números irracionais.
Mesmo que os matemáticos
gregos fossem capazes de contornar as fracções, tratando-as como
razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números
como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo
lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de
um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado
é diferente da razão de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito
rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de recta
como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz
quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou
suas razões, pode ser representado como um segmento de recta que é
precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja
apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente
linear.
De passagem devemos
mencionar Apolónio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos
ao estudo das secções cónicas. De facto, seu grande tratado Secções
cónicas contém mais geometria analítica das cónicas - toda
fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários
de hoje.
A matemática grega deu
uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não
encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns
outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra
geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição
escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era
possível seguir o fluxo de ideias desde que um instrutor apontasse
para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução directa não
sobreviveram. |
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Adaptado de Álgebra Geométrica
Grega, HISTÓRIA
DA ÁLGEBRA (uma visão geral)
http://www.somatematica.com.br/algebra.phtml |
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HISTÓRIA
DA ÁLGEBRA
(uma visão geral)
Fonte: Tópicos de História da Matemática - John K.
Baumgart |
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- Equações algébricas
e notação
- Álgebra no
Egito
- Álgebra geométrica
grega
- Álgebra na
Europa
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[1]
Ver Equações
quadráticas na antiga Babilónia, no ponto 3 de EQUAÇÕES DO
2º GRAU ou EQUAÇÕES QUADRÁTICAS (um pouco da sua história),
JOSÉ MORGADO, Centro de Matemática, Universidade do Porto.
[2]
Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são
os seguintes:
| Bissecte AB em
M: |
k/2 |
| Construa o
quadrado MBCD: |
(k/2)2 |
| Usando VI, 25,
construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de
MBCD sobre a área dada P: |
t2
= (k/2)2 - P |
| Então é claro
que |
y
= (k/2) - t |
Como fazia
frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante -
neste caso, x=(k/2)+t, o que Euclides certamente percebeu mas não
formulou. |
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Desenvolvimento
do quadrado
de uma soma
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Pediu-nos
o formador que procurássemos nos Elementos de Euclides a
proposição correspondente ao desenvolvimento do quadrado de uma soma:
(a
+ b)2 = a2 + 2ab + b2
Parece
que a tarefa está cumprida. Dado que a expressão anterior é equivalente a
x2
= a2 + b2 + 2ab, com x = a+ b
considerando
a secção prévia, a
indicação de Joyce transporta-nos até Elementos II.4:
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Se uma linha recta é
dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda
iguala os quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o rectângulo
que as partes contêm. |
De
seguida, vamos confirmar que, de facto, assim é.
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Segundo
Joyce
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Let the straight line AB be cut at random at C.
I say that the square on AB equals the sum of the
squares on AC and CB plus twice the rectangle AC
by CB. |
| Describe the square ADEB on AB. Join BD.
Draw CF through C parallel to either AD
or EB, and draw HK through G parallel
to either AB or DE. |
I.46
I.31 |
| Then, since CF is parallel to AD, and BD
falls on them, the exterior angle CGB equals the
interior and opposite angle ADB. |
I.29 |
| But the angle ADB equals the angle ABD,
since the side BA also equals AD. Therefore
the angle CGB also equals the angle GBC, so
that the side BC also equals the side CG. |
I.5
I.6 |
| But CB equals GK, and CG to KB.
Therefore GK also equals KB. Therefore CGKB
is equilateral. |
I.34 |
| I say next that it is also right-angled. |
| Since CG is parallel to BK, the sum of the
angles KBC and GCB equals two right angles. |
I.29 |
| But the angle KBC is right. Therefore the angle BCG
is also right, so that the opposite angles CGK and GKB
are also right. |
I.34 |
| Therefore CGKB is right-angled, and it was also
proved equilateral, therefore it is a square, and it is
described on CB. |
| For the same reason HF is also a square, and it is
described on HG, that is AC. Therefore the
squares HF and KC are the squares on AC
and CB. |
I.34 |
| Now, since AG equals GE, and AG is
the rectangle AC by CB, for GC equals CB,
therefore GE also equals the rectangle AC by CB.
Therefore the sum of AG and GE equals twice
the rectangle AC by CB. |
I.43 |
| But the squares HF and CK are also the
squares on AC and CB, therefore the sum of the
four figures HF, CK, AG, and GE equals the sum
of the squares on AC and CB plus twice the
rectangle AC by CB. |
| But HF, CK, AG, and GE are the whole ADEB,
which is the square on AB. |
| Therefore the square on AB equals the the sum of
the squares on AC and CB plus twice the
rectangle AC by CB. |
| Therefore if a straight line is cut at
random, the square on the whole equals the squares on the
segments plus twice the rectangle contained by the segments. |
| Q.E.D. |
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Segundo
Byrne
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O
pedido
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Para
este trabalho, o formador formulou o seguinte desafio:
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No programa de
Matemática para o 8º ano do ensino básico, um dos conteúdos do tema
equações refere-se aos casos notáveis da multiplicação de
binómios. Em alguns manuais escolares encontramos uma
apenas uma "interpretação geométrica destes
resultados", isto é, uma "imagem" de um resultado
algébrico.
É usual ouvirmos os professores de matemática,
a leccionar turmas do ensino secundário, dizerem: "os meus
alunos não sabem os casos notáveis da multiplicação".
Será que a História da Matemática (álgebra
geométrica dos gregos) não poderá contribuir para um melhor
ensino/aprendizagem destes conteúdos?
Considere o caso específico do desenvolvimento do quadrado de uma
soma:
 .
i) Procure nos Elementos de Elucides a proposição que lhe
corresponde;
ii) Será possível leccionar este conteúdo à luz da História da
Matemática? Se sim (eu acredito que sim!), elabore uma actividade
para desenvolver, na sala de aula, com alunos aquando da leccionação
do conteúdo acima especificado. Não se esqueça que o "pano
de fundo" deverá ser a História da Matemática. Se a sua
resposta à pergunta inicial é negativa, explique porque e
planifique, a seu critério, o conteúdo programático em causa. |
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Porque
uma resposta negativa seria muito difícil de fundamentar, nada mais me
restou que tentar cumprir o pedido, acreditando também que, talvez, uma
actividade híbrida, satisfizesse gregos e troianos.
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(a+b)2=a2+2ab+b2
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Uma
actividade a desenvolver na sala de aula
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Assim,
no sentido da satisfação do pedido, foi elaborada uma ficha de trabalho
sobre o quadrado da soma a desenvolver com alunos do 8.º ano.
Durante
a leitura da ficha de trabalho, a observação da sequência das questões
colocadas, tanto quanto as sugestões fornecidas aos alunos, permitem ao
leitor inferir que houve a preocupação de efectuar uma abordagem pouco
habitual do conteúdo, e uma tentativa pensada na sua exploração com
alguma ténue luz da História da Matemática. Na parte final, deve também
ser sentida alguma intenção algébrica, pois entendo que o conteúdo não
ficaria cabalmente explorado se assim não fosse. A novidade, se é que a
há, resumir-se-ia apenas à forma pouco tradicional de abordar o conteúdo.
Algumas
das actividades a desenvolver carecem de materiais diversos e equipamento
informático, pelo que seria desejável realizá-la no Laboratório de
Matemática. Aí o trabalho dos alunos pode ser acompanhado de forma
próxima, mas também é possível fazer, com eficiência, os
esclarecimentos indispensáveis e os pontos de situação globais e
sínteses, recorrendo a um projector de vídeo.
Depois
de abrir a página da ficha de trabalho, pode ir consultando as diversas
sugestões à medida que estas vão sendo postas à disposição dos alunos.
Para regressar novamente à página da ficha de trabalho, basta retroceder.
De
qualquer forma, aqui ficam as ligações para os dois documentos:
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Construa um quadrado
com estas 4 peças.
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Questões
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Muitas
coisas foram pensadas, algumas concretizadas e outras não houve tempo nem
disponibilidade para as fazer amadurecer. Mais umas, que na altura achei
interessantes, agora delas não tenho mais que uma vaga ideia. Pior ainda,
não houve tempo para rever o conteúdo destas páginas, pelo que haverá
erros e falhas, certamente, e algumas partes não estarão tão bem quanto
se deseja. Ficará
esse trabalho para o leitor, pelo que os reparos (benvindos) serão
registados no fórum ou nos logs das próximas sessões. Termino,
deixando eu o primeiro reparo: a questão C é bastante exigente.
Deveria ser pensada com mais tempo, por forma a melhorá-la e assim poder
obter maior sucesso por parte dos alunos. A ficar assim, apenas o projector
de vídeo e o GSP poderão ser os salvadores. Fica
mais algum espaço para outras questões e reparos:
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