A Pintura das Placas da Auto-estrada

Simplificando o problema

Trata-se de descobrir os números naturais pares que verificam a seguinte condição:

·        A soma do número de algarismos dos números de 1 a n/2 é quatro nonos da soma do número de algarismos dos números de 1 a n.

A soma do número de algarismos

A soma do número de algarismos dos números naturais compreendidos entre 1 e n, pode ser dada pela expressão

onde,

,

designa o “comprimento” do número n, isto é, o número de algarismos do número natural n.

De forma semelhante, a expressão

com

dá a soma do número de algarismos dos números naturais compreendidos entre 1 e n/2.

Uma (suposta) expressão geradora

Considerando que

podemos exprimir n em função de c e d:

Como para todo o número natural é  ou , podemos considerar dois casos:

CASO 1 (d=c-1)

Nesta situação, podemos obter a seguinte expressão:

      (1)

CASO 2 (d=c)

Agora, podemos obter a seguinte expressão:

      (2)

Soluções...

No CASO 1 não surgem soluções. (Fica a verificação ao cuidado do leitor)

Apresenta-se seguidamente os mais pequenos oito números naturais pares, gerados pela expressão (2):

Existirá um número infinito de soluções?

Esta conjectura é tentadora...

Facilmente se pode mostrar que a expressão (2) gera uma infinidade de números naturais pares.

Vamos mostrar que, por exemplo, para

a expressão

gera um número natural par para todo o k natural.

Para isso, bastará mostrar que

gera um número natural par para todo o k natural.

Ora,

é um número natural par.

Por outro lado,

Portanto,

gera um número natural par para todo o k natural, como queríamos mostrar.

Mas...

O número natural , obtido da expressão (2) para , não é solução do problema:

Com efeito,  não é um número de “comprimento” 9.

Lá se vai a nossa conjectura por água abaixo!

Por outro lado, um olhar mais atento pela tabela indicada acima, permite constatar que os números naturais pares obtidos para , , ,  e  também não são soluções do problema:

Efectivamente,  esses números naturais possuem “comprimento” inferior em 1 unidade relativamente ao que era suposto! (14, 26, 44, 80 e 110)

Uma expressão geradora

Para garantir que, quer n, quanto n/2, sejam números naturais de “comprimento” c, é necessário impor uma outra condição:

Portanto, as soluções poderão ser obtidas pela condição:

     (3)

com  e n um número natural par.

No máximo, poderão existir 4 soluções

De (3),  resulta , com .

Donde, ,

visto ser:

·       

·       

·       

·       

·       

·       

As soluções: 360 e 22212

Confrontando esta informação com os resultados anteriormente obtidos, conclui-se haver apenas duas soluções: 360 e 22212, obtidas com  e , respectivamente.

Seguidamente, apresenta-se a verificação dessas soluções: