A Soma dos Ângulos
Num Triângulo

Quanto somam os três ângulos de um triângulo? Pensas que já sabes a resposta a esta questão. Os ângulos somam 180°, certo?

De facto, apenas conheces parte da resposta. Os ângulos num triângulo apenas somam 180° algumas vezes! Em certas condições eles somam mais que 180°, e algumas vezes menos. Vamos ver porquê.

A situação que te é familiar é aquela em que um triângulo está desenhado numa superfície plana, chamada plano. Estas superfícies, como a página do teu caderno de matemática, são perfeitamente planas. Essas superfícies são descritas dizendo-se que têm curvatura nula.

Sempre que construíres três linhas rectas para criar um triângulo, os três ângulos formados somam sempre exactamente 180°.

Mas não há qualquer razão para termos de desenhar o triângulo numa superfície dessas ...

Em vez disso, supõe que desenhamos o triângulo sobre uma esfera!
Usando uma régua flexível, desenhamos três linhas rectas sobre a superfície de uma esfera, e depois medimos os ângulos. Descobrimos que a soma desses três ângulos é maior que 180°!

Isto não é um truque. Isto é difícil de mostrar numa página como esta, por isso peço-te que pegues num globo ou numa bola grande, e desenhes três linhas rectas com uma régua, que formem uma superfície fechada. Mede os ângulos. Vais descobrir por ti próprio que a soma dos ângulos excede 180°. Isto acontece porque uma esfera tem curvatura positiva.

Isto constitui um facto muito importante. Quer dizer, por exemplo, que em percursos triangulares desenhados ao longo da superfície terrestre, que sejam suficientemente longos para seguir a curvatura da terra (que é aproximadamente esférica), a soma dos seus ângulos totalizará mais do que 180°.

Outra maneira de dizer isto é que a menor distância entre dois pontos da terra não é o comprimento da linha recta num mapa.

Num mapa plano de uma região terrestre, como é mostrado à direita, assumimos que a menor distância entre os pontos A e B é representada pelo comprimento de uma linha recta que os liga. Se na realidade a terra fosse plana, isso seria verdadeiro.

Mas a superfície terrestre não é plana ... é a superfície curva de uma esfera. A menor distância é o comprimento do arco (com centro no centro da terra), representado a branco. Ele é designado por 'grande círculo', a rota seguida pelos aviões para conseguir a menor distância entre A e B.

Podes tentar isto para te convenceres que é verdade. Arranja um mapa plano de uma grande superfície terrestre, e desenha uma linha recta entre dois pontos A e B. Identifica alguns pontos que ficam ao longo da linha.
Agora localiza e marca os pontos A e B assim como os pontos entre eles num grande globo, e desenha o mesmo trajecto. Verás que o trajecto é maior que o trajecto em linha recta de A para B ao longo da superfície do globo. Se localizares pontos sobre esta última linha desenhada no globo, e os transferires para o mapa plano, verás que essa linha é uma curva.

Haverá alguma situação na qual a soma dos ângulos de um triângulo é inferior a 180°?

Sim, há.
Isto acontece numa superfície com curvatura negativa.
Um exemplo é a curva interior de uma superfície com a forma de sela, como se mostra à direita. Os triângulos desenhados sobre essa superfície têm três ângulos que na verdade somam menos que 180°!


Este facto é muito importante sempre que se constróem formas com curvatura negativa ... telhados de grandes estádios, por exemplo.