Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática A

Cubos, Tetraedros & C.ª

Que relação existe entre o volume de um cubo com o do tetraedro cujas arestas são as diagonais faciais do cubo? Que polígonos é possível obter cortando um tetraedro por um plano paralelo a duas arestas? Qual o perímetro e a área dos polígonos que constituem as secções?

 

São estas e outras questões que vais tentar responder seguidamente, utilizando os diversos
materiais disponíveis no Laboratório de Matemática.

 

 

    

1.   Qual o menor número de cores necessárias para pintar um cubo de tal forma que duas faces adjacentes não tenham a mesma cor? Apresenta uma solução.

2.   Os desenhos da figura mostram três maneiras diferentes de dividir um cubo em duas partes iguais.

      Experimenta descobrir outras (pelo menos 4) e desenha-as.

3.   Por mais improvável que pareça, é possível fazer um buraco através de um cubo de madeira, de forma que um outro cubo, maior do que o primeiro, possa passar através dele, entrando por um lado e saindo pelo outro.

      Como farias tal buraco?

 

4.   Um cubo de madeira com 3 cm de aresta pode ser serrado, dando origem a 27 cubos com 1 cm de aresta. Será possível conseguir isto com menos de 6 cortes?

 

5.   Considera o tetraedro cujas arestas são as diagonais das faces dum cubo.

a)   Desenha esse tetraedro na figura ao lado.

b)   Determina a relação entre os volume do tetraedro e do cubo.

c)   Determina a relação entre as áreas totais do tetraedro e do cubo.

d)   Calcula o ângulo diedro das faces do tetraedro.
(Envolve trigonometria)

Sugestão: Recorre a um corte no cubo segundo um plano que contenha as diagonais de duas faces opostas. Considera que o cubo tem aresta de comprimento 1.
Transpõe a secção produzida no cubo e no tetraedro para uma nova figura e deduz um valor aproximado do ângulo pedido.

 

6.   Na fotografia ao lado estão representados os dois sólidos que tiveste oportunidade de fazer em casa, a partir de duas planificações (PDF GSP) iguais que te foram dadas.

a)   Tenta construir um tetraedro com esses dois poliedros.

b)   Reproduz a secção obtida no tetraedro que acabaste de construir, na figura representada abaixo.

c)   O polígono obtido pelo corte é um quadrilátero.
Classifica-o, justificando.

d)   Explora a Aplicação JavaSketchpad1.
Qual é a tua conjectura sobre o perímetro e a área da secção?

e)   Podemos dar outra orientação ao tetraedro, como a apresentada a seguir:

 

Rectifica a tua resposta dada na alínea c), se for caso disso.

Prova a conjectura referida na alínea d).

Explora a Aplicação JavaSketchpad2.

7.   Considera um tetraedro regular.

a)   Quais são os polígonos que se podem obter por secção do tetraedro por um plano paralelo a duas arestas concorrentes?

      Executa a Aplicação JavaSketchpad3.

b)   Considera afigura ao lado.
Dado um tetraedro regular, qual é o sólido que resulta de retirarmos quatro tetraedros regulares todos iguais? Justifica.
Justificando, determina a relação entre os volume desse sólido e do tetraedro inicial.

c)   Qual a relação entre o volume do octaedro e o do cubo cujas arestas do tetraedro são suas diagonais faciais?

      Observa a figura seguinte.

      Executa a Aplicação JavaSketchpad4.

 

 

 

 

Sketches GSP: (versão 3)

GSP1 Animação relativa à secção do tetraedro por um plano paralelo a duas arestas não complanares GSP2 Animação relativa à secção do tetraedro por um plano paralelo a duas arestas não complanares (inclui o cubo) GSP3 Animação relativa à secção do tetraedro por um plano paralelo a duas arestas, concorrentes ou não complanares GSP4 Animação relativa à secção do tetraedro por um plano paralelo a duas arestas não complanares (inclui o cubo e o seu dual octaedro) GSP5 Stella Octangula, octaedro, cubo e teraedro GSP6 Planificação da bissecção do tetraedro