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Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de Matemática AAno Lectivo 2009/10 Relações métricas entre figuras e poliedros 10.º Ano
Observe atentamente as figuras e, sempre que
possível e necessário, construa os modelos representados para encontrar com
mais facilidade as respostas às perguntas formuladas.
1. O triângulo [ABC] é
rectângulo em A.
2. Suponhamos que pretendemos planear um monumento a Euclides com a forma de uma pirâmide regular invertida, cuja base seja um quadrado e as outras faces sejam triângulos equiláteros em folha de metal, sendo posteriormente as faces soldadas e pintadas. Deseja‑se
que ela seja o maior possível, mas dispõe‑se unicamente de uma folha de metal
quadrangular com 6 m de lado.
a) Primeiro método:
b) Segundo método: c) Faça as duas construções. Qual é o método mais vantajoso? d) Consegue encontrar um método ainda melhor? e) Terceiro método: f) Mostre que o volume (em m3) da pirâmide considerada no primeiro método é dado por . g) Designando por e , respectivamente, os lados do quadrado nos 1.º e 3.º métodos, mostre que . h)
Relacione, justificando, os volumes das pirâmides obtidas
nos primeiro e terceiro métodos ( e ). Animação JavaSketchpad (Versão GSP)
3. Observe atentamente a figura ao lado. a)
As quatro diagonais do cubo permitem decompô‑lo em
pirâmides regulares de base quadrada. b) Se «voltássemos o sólido para fora», obtínhamos um novo sólido - o dodecaedro rômbico (ver figura do livro, página 79). Qual é o seu volume?
4. Considere o cubo [ABCDHEFG] e a pirâmide [ABCDH] representados na figura ao lado. Relacione o volume da pirâmide com o volume do cubo.
5. Considere o cubo [ABCDEFGH] representado na figura ao lado. a)
Mostre que [BDHF] é um
tetraedro regular. b) Quantas pirâmides congruentes com [ABHD] se encaixam com o tetraedro [BDHF] perfazendo o cubo?] Animação JavaSketchpad (Versão GSP) c)
Relacionando os volumes do tetraedro e das pirâmides com o
volume do cubo, calcule o volume do tetraedro em função da aresta a do cubo. d) Calcule o volume do tetraedro em função de .
6. Cortando um tetraedro regular [ABCD] por planos paralelos às faces que passem pelos pontos médios das arestas, obtém‑se um octaedro regular (ver figura ao lado). Compare o volume do octaedro com o do tetraedro original. Animação JavaSketchpad (Versão GSP)
7. Na figura ao lado, considere o cubo [ABCDEFGH]. a) Prove que [TJKLMN] é um octaedro regular. b) Seja , calcule em função de a. c) Mostre que o quadrilátero [JKLM] é um quadrado e que o plano JKL é o plano mediador de [TN]. Seja O o ponto de intersecção de TN com o plano JKL. Que representa O para o quadrado [JKLM]?
Nota: Chama‑se plano mediador de um segmento de recta [AB] ao plano perpendicular a [AB] que contém o ponto médio deste segmento. Consequentemente, qualquer ponto P do plano mediador está à mesma distância de A e de B. d) Calcule o volume da pirâmide [TJKLM] em função de a. e) Calcule o volume do octaedro regular e compare‑o com o volume do cubo. f) Compare o volume do octaedro com o volume do tetraedro referido no exercício 5. Animação JavaSketchpad (Versão GSP)
8. Considere o cubo [ABCDEFGH], representado na figura ao lado. Sendo W, X, Y, V, Q
e Z tais que: Calcule então a medida da sua aresta em função da aresta do cubo. Animação JavaSketchpad (Versão GSP)
SOLUÇÕES2. e)
h) ; . 3. a) O volume de cada uma das pirâmides é um sexto do volume do cubo. b) Duplo do volume do cubo.
4. O volume da pirâmide é um terço do volume do cubo. 5. b) Quatro pirâmides. c) ; ; . d) . 6. Dado que a medida da aresta [AE] é metade da medida da aresta [AB, o volume do tetraedro [EBFI] será do volume do tetraedro [ABCD]. Como há quatro tetraedros congruentes com o tetraedro [EBFI], podemos concluir que . 7. b) . d) . e) . f) É metade do volume desse tetraedro. 8. ; .
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