Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.  

A alternativa correcta é [C]. (porquê?)

2.  

a)  

b)  

Desdobrando o módulo e aplicando de seguida as 1.^as leis de De Morgan, vem:

 

3.  

a)   Apresentam-se três resoluções possíveis:

1) As diagonais de um quadrado dividem-no em quatro triângulos geometricamente iguais. Logo, a área do triângulo considerado é um quarto da área da face do cubo. Isto é, .

2) Sendo Q o ponto médio da aresta [CD] e considerando esta mesma aresta para base do triângulo [CDP], vem: , c.q.m..

3) Sabendo que as diagonais de um quadrado são perpendiculares e se bissectam, conclui-se que o triângulo [CDP] é rectângulo e isósceles. Assim, .

b)  

HC é perpendicular ao plano BCD, pelo que se considerarmos para base da pirâmide o triângulo [CDP] a altura da mesma será o segmento de recta [HC].
Assim,    e   . Logo, .

c1)

Sendo   e sabendo que o triângulo [DEP] é rectângulo em D, vem .

Logo,  decímetros, c.q.m.

c2)

Como   e  , vem:

                    Logo, .

4.  

a)  

As rectas XY e AB, complanares (ambas pertencem ao plano ABV), intersectam-se em Z. Logo, Z é um ponto comum aos planos CXY e ABC, pois é um ponto comum de duas rectas, cada uma pertencente a cada um desses planos (XY pertence a CXY e AB pertence a ABC).
Por outro lado, o ponto C é também um ponto comum desses planos (dado).
Como dois pontos distintos definem uma recta, a recta CZ é a recta de intersecção dos planos considerados.

b)  

Ver figura. (De acordo com a), CZ é a recta de intersecção dos planos ABC e CXY. Logo, T é o ponto de intersecção do plano CXY com a aresta [AD], pertencente ao plano ABC.)

c)  

Aceitando a sugestão, consideremos o triângulo isósceles [VPQ], cuja altura relativamente à sua base [PQ] é o segmento de recta [VR] (segmento altura da pirâmide).

Considerando agora o triângulo rectângulo [VRP], temos .

Logo, , que é a amplitude do diedro considerado, com aproximação à décima de grau.

d)  

Como os triângulos [VPQ] e [VP’Q’] são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são proporcionais, assim como as respectivas alturas: .

De  obtém-se , donde .

Calculando agora o volume do frasco, temos:  cm³.

Quando o frasco está meio cheio, o líquido ocupa o volume de  cm³, que mais não é que o volume da pirâmide de altura .

Assim, .

Logo, a altura do líquido no interior do frasco é  cm³, c.q.m..

 

Alternativa:

A razão entre os volumes das duas pirâmides é . Como as pirâmides são semelhantes, então a razão de semelhança é .

Assim, , donde .

Logo, a altura do líquido no interior do frasco é  cm³, c.q.m..

FIM