Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Ora, .
Portanto, A é um ponto do plano mediador do segmento [BC], pois é equidistante dos extremos do segmento.

Ou ainda:

Como o plano mediador de um segmento de recta é perpendicular ao segmento no seu ponto médio, então  é uma equação desse plano. Ora, A (4, 5, 5) é um ponto desse plano, pois as suas coordenadas verificam a condição que define o plano.

b)  

A recta BH é uma recta do plano seccionador e do plano que contém a base da pirâmide. Logo, a secção obtida na base da pirâmide é o segmento de recta [BF]. Como A é ponto comum ao plano seccionador e à face [ADE], então a secção obtida nesta face é o segmento de recta [AF]. Por outro lado, [AB] é comum ao plano seccionador e às faces [ABC] e [ABE]. Assim, a secção obtida é o triângulo [ABF].

c)  

Ora,  e H é um ponto dessa recta.
Logo,  é uma equação vectorial da recta HB.

d)  

Ora,  e .
Assim, . Logo, .

e)  

Ora, , pelo que o raio da superfície esférica é .
O seu centro é ponto médio do segmento de recta [AB]: .
Logo,  define a superfície esférica considerada.

f)   

Ora, como  e , então AG é perpendicular ao plano xOy, que contém a base da pirâmide, sendo, portanto, .
O raio da base do cone é a semi-diagonal da base da pirâmide, portanto .
Logo,  unidades de volume.

2.  

Como as velocidades são constantes, os gráficos que relacionam o tempo e a distância percorrida pelo Filipe (F) e pela mãe (M) vão ser “rectas” com declive igual à velocidade.
No instante 0, o Filipe sai de casa. Isto corresponde ao ponto O, origem do referencial.
À velocidade que vai, numa hora faz 20 Km. Marcamos o ponto A (1, 20).
A mãe partiu meia hora depois, ou seja, quando  a distância percorrida era ainda zero. Marcamos o ponto B (0,5; 0).
Como meia hora depois ela teria percorrido 30 km, obtemos o ponto C (1, 30).
A solução do problema está em P, o ponto de intersecção dos dois gráficos.

O percurso do Filipe é dado pela equação .
O percurso da mãe é dado por uma equação do tipo . Substituindo na equação as variáveis t e d pelas coordenadas do ponto C (1, 30), obtém-se: . Portanto, será .

Definidas as funções  e , podemos obter os gráficos numa janela adequada:

      

 

Utilizando o comando G-Solv + ISCT, a calculadora fornece para coordenadas do ponto P: (0,75; 15), que podem ser confirmadas na tabela de valores dessas mesmas funções.

Resolvendo o sistema de equações, podemos confirmar esses valores:
               (  )

Portanto, a mãe teve de percorrer 15 km até encontrar o Filipe, demorando 15 minutos (45-30) nessa perseguição.

3.  

a)  

; ; zeros de f:  e .

b)  

Mínimo absoluto: ; mínimo relativo: ; máximo relativo: ; máximo absoluto: não existe.

c)  

 

 

d)  

      Ver gráficos na figura ao lado.

e)  

A afirmação é falsa. Ainda que a função não seja contínua no ponto  (não é possível desenhar o gráfico em torno desse ponto sem levantar o lápis  há uma quebra em  ), ela não é uma função injectiva, visto haver objectos diferentes com igual imagem (por exemplo,  e  têm ambos a mesma imagem  ).

f)   

      Sejam A (-4, 2), B (-2, 0), C (2, 1) e D (6, -1).
O declive da recta AB é  e a ordenada na origem é . Logo,  é a equação reduzida da recta AB.

      O declive da recta CD é .
Portanto, a equação reduzida da recta CD é do tipo . Como C é um ponto dessa recta, então as suas coordenadas terão de verificar essa equação: .
Logo,  é a equação da recta CD.

      Logo, f pode ser definida analiticamente por:

 

4.  

a)  

      Ora,  e , isto é, .
Portanto, é falsa a proposição . Logo, j não é uma função par.

b)  

      Ora, .
Logo, o ponto de coordenadas (4, 2) não é um ponto do gráfico de j.

c)  

      Ora, .
Logo, a função é negativa em .

d)  

Ora,  

 

 

 

FIM