Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

 

1.ª Parte

 

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

 e   são, respectivamente, o domínio e o contradomínio de g.

A função possui dois zeros:  e .

b)  

A função é monótona crescente em  e em ;
é monótona decrescente em .

Máximo relativo:  (em  );
Máximo absoluto: não tem;
Mínimos relativos:  e  (em  e  )
Mínimo absoluto:  (em  );

c)  

Apresenta-se seguidamente um quadro de sinal da função:

d)  

A recta de equação , paralela ao eixo Ox, intersecta o gráfico de g em apenas um ponto: .
Por esse motivo, a equação  admite apenas uma solução: . (ver imagem acima)

2.  

a1)

Como podemos verificar na tabela de variação, .
Logo,  é um elemento do contradomínio de f.
Portanto, a afirmação é falsa.

a2)

Como podemos verificar na tabela de variação:

·          a função é decrescente no intervalo ,  e .
Consequentemente, . (*)

·          a função é decrescente no intervalo ,  e .
Consequentemente, . (**)

Logo, conjugando (*) e (**), conclui-se que .
Portanto, a afirmação é falsa.

b)  

Acima, está feita uma possível representação gráfica de f.

3.  

a)  

Ora,  e .

Portanto, o 1.º poste tem 5 m de altura e o 2.º poste tem 11 m de altura.

b)  

Considerando o contexto da situação, concluímos que o domínio da função é ; tendo também em conta a altura do segundo poste, podemos considerar adequada a janela de visualização [0, 12] x [-2, 11]. Definida a função  no módulo de gráficos da calculadora, podemos obter a seguinte representação:

      

         

 

Recorrendo agora ao comando G-Solv-Min (CALC-minimun), obtemos para mínimo e minimizante, respectivamente, os seguintes valores:  e .

Portanto, o ponto do fio que está à distância mínima do solo encontra-se a 8 m do 2.º poste e a 3 m do solo.

4.  

a)  

Como  é um vector director da recta r, o seu declive é . Como s é paralela a esta recta, o declive da recta s será , pelo que a sua equação reduzida será da forma . Como A é um ponto da recta s, as suas coordenadas terão de verificar esta equação.
Assim, temos  e, portanto,  é a equação reduzida da recta s.

b)  

A bissectriz dos quadrantes ímpares é a recta de equação , de declive 1. Como esta recta e a recta r possuem declives diferentes, então são concorrentes. Consequentemente, existe um (só) ponto da bissectriz dos quadrantes ímpares que pertence à recta r.

As coordenadas do ponto procurado têm de verificar simultaneamente as equações das duas rectas consideradas. (  e  )

Portanto, temos: .
Logo, o ponto procurado tem de coordenadas .

c)  

O declive da recta AB é , logo a sua equação reduzida será da forma .
Como B é um ponto da recta, as suas coordenadas terão de verificar esta equação. Assim, temos  e, portanto,  é a equação reduzida da recta AB.

A circunferência tem centro no ponto , ponto médio de [AB], e raio  .
Portanto,  é uma equação da circunferência de diâmetro [AB].

Logo, a condição  define o domínio plano considerado.

5.  

a)  

Ora, .
Logo, .

b)  

Ora, .
Logo,  é um vector director da recta pedida e, portanto, uma sua equação vectorial é .

O ponto procurado (da recta AD) é um ponto de abcissa nula, pois pertence ao plano yOz (de equação  ).
Assim, vem:

Logo, as coordenadas do ponto pedido são .

 

FIM