Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  
A superfície esférica considerada tem centro no centro do cubo, , e a diagonal espacial do cubo como diâmetro.
Ora, , pelo que uma condição que define essa superfície esférica é .

b)  
A secção produzida no cubo pelo plano PQA é o rectângulo [PBCQ].
Dado que os triângulos [ABS] e [APO] são semelhantes, com razão de semelhança , então .
Assim, .
Logo, .

 

 

2.  

a)  
Como o declive da recta AB é , então sua equação reduzida é da forma .
Dado que o ponto B pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, .
Logo,  é a equação reduzida da recta AB.
Para , temos: . Logo, .

b)  

c)  
Por observação do gráfico, temos: .
Determinemos a abcissa do ponto D da recta AB com ordenada 1:
Para , temos: . Logo, .
Assim, .
Logo, .

3.  

a)  
O gráfico de h está representado no ecrã seleccionado, o qual pode ser obtido do gráfico de  pela translação associada ao vector .
O gráfico de  obtém-se do gráfico de  por simetria em relação ao eixo Ox.

b)  

c)  

4.  

a)  
Como o ponto Q se desloca sobre o segmento , nunca coincidindo com D,  e , então .
A área do triângulo [PQC] assumirá todos os valores positivos até ao valor da área do triangulo [ABC]. Logo, .

b)  

c)  
Temos sucessivamente:

                     

d)  
A área do triângulo [ABC] é .
Logo, o problema pode ser equacionado pela condição , com .
Definidas as funções  e , determinou-se, com a ferramenta adequada, as coordenadas do ponto de intersecção dos seus gráficos, no domínio considerado.
Logo, o valor procurado é .

      Alternativa:
Como , bastaria procurar o zero da função  no domínio considerado.

FIM