10.º Ano Prova Escrita de Matemática A

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Prova Escrita de Matemática A

09/12/2009 Turma A - Prova 2 10.º Ano

1.ª Parte

Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

Atenção! Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na figura, a circunferência de centro O contém os pontos R, S e T.

Um ponto P desloca-se ao longo do trajecto que a figura sugere: P inicia o percurso em R e termina-o em T, percorrendo, sucessivamente e sem parar, a corda [RS] e o arco ST.

Para cada posição do ponto P, seja t o tempo decorrido desde o início do percurso e seja d a distância do ponto P ao ponto O.

Qual dos gráficos a seguir representados pode relacionar correctamente as variáveis t e d?

[A] [B]

[C] [D]

2. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um cubo de aresta 2.

Sabe-se que:

· a face [ABCD] está contida no plano xOy;

· a aresta [DC] está contida no eixo Oy;

· o ponto D tem coordenadas (0, 2, 0).

Os pontos de coordenadas (2, 2, 0) e (0, 4, 0) são vértices do cubo.

a) O segmento de recta cujos extremos são estes vértices é:

[A] uma aresta paralela ao plano yOz. [B] uma diagonal espacial.

[C] uma aresta paralela ao plano xOy. [D] uma diagonal facial.

b) Que polígono é a secção produzida no cubo pelo plano ABG?

[A] Um rectângulo. [B] Um quadrado.

[C] Um trapézio. [D] Um triângulo.

3. Se a diagonal facial de um cubo tem de comprimento, então o perímetro da base é:

[A] . [B] . [C] (1 c.d.). [D] .

4. Qual dos seguintes lugares geométricos é definido pela condição ?

[A] [B] [C] [D]

2.ª Parte

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.

1. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz, um sólido que pode ser decomposto num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. Considere ainda:

· A origem do referencial é um dos vértices do cubo, o vértice P pertence ao eixo Ox e o vértice R pertence ao eixo Oy;

· Os vértices da base da pirâmide são os pontos médios dos lados do quadrado [OPQR];

· O ponto Q tem coordenadas (2, 2, 0) e o ponto G tem coordenadas (0, 3, 1);

· F é o ponto médio da aresta [PT].

a) Indique as coordenadas dos pontos A, F, U e V.

b) Transcreva e complete as frases seguintes, de forma a obter proposições verdadeiras:

As rectas ____ e ____ são não complanares.
As rectas ____ e ___ são concorrentes oblíquas.
A recta ____ é perpendicular ao plano ____.
A intersecção dos planos CRS e PTU é ______________.
A distância de F ao plano yOz é ____ unidades e ao plano de equação é ____ unidades.

c) Indique uma condição cartesiana que caracterize:

c1) o plano ABC;

c2) o segmento de recta [FP];

c3) a face [STUV].

d) Qual é a posição relativa das rectas GV e QR? Justifique.

e) Reproduza (apenas) o cubo e desenhe a secção nele produzida pelo plano FQD.

f) Admita que o volume do sólido é igual a 10.

f1) Mostre que o ponto E tem de coordenadas (1, 1, 3).

f2) Determine a área lateral da pirâmide.

2. No referencial ortogonal e monométrico (O, x, y), e B são dois pontos de intersecção da circunferência de centro com os eixos coordenados.

a) Determine m e n de modo que o ponto seja simétrico de C em relação ao eixo Ox.

b) Mostre que é uma equação da circunferência.

c) Determine as coordenadas do ponto B.

d) Escreva uma condição que caracterize o domínio plano colorido.
(incluindo a fronteira)

3. Na figura estão representadas duas circunferências: uma de centro O, de que [AD] e [FE] são dois diâmetros perpendiculares; outra de que [BC] e [FO] são dois diâmetros, também perpendiculares.

a) Designe por r.
Mostre que a área do pentágono [ABCDE] é dada por .

b) Admita agora que .
Determine o perímetro da área tracejada.

4. Resolva APENAS UMA das questões seguintes:

A) Num referencial o.m. represente o domínio plano definido por .

B) Num referencial o.m. represente o domínio plano definido por .

FIM

Formulário

Áreas de figuras planas

Volumes

Losango:

Trapézio:

Polígono regular:

Círculo:

Prisma:

Cilindro:

Pirâmide:

Cone:

Esfera:

COTAÇÕES

1.ª Parte ............................................................................................................................................................................ ... 40 pontos

Cada questão com resposta certa .......................................................................................... 8 pontos

Cada questão com resposta errada, não respondida ou anulada................................... 0 pontos

2.ª Parte ............................................................................................................................................................................ . 160 pontos

1. ................................................................................................................................................... 86 pontos

a) 8

b) 10

c1) 2

c2) 4

c3) 6

d) 10

e) 12

f1) 16

f2) 18

2. ................................................................................................................................................... 40 pontos

a) 10

b) 10

c) 12

d) 8

3. ................................................................................................................................................... 24 pontos

a) 12

b) 12

4. ................................................................................................................................................... 10 pontos

Total 200 pontos