Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

1.   Observe a figura seguinte:
Um barco encontra-se no ponto A e desloca-se, em linha recta, para o ponto B, onde chega 10 minutos depois, andando a uma velocidade de 6 km/h.
O farol representado na figura por [CD] tem 100 metros de altura.
O ângulo de elevação em A é de 5º e em B é de 8º.
Determine a distância mínima a que o barco esteve do ponto C durante a viagem de A para B.

Solução

Proposta de resolução

2.   A “Grande Pirâmide”, construída por Quéops 2530 anos a. C., tem como base um quadrado com 230 metros de lado aproximadamente e o ângulo que cada uma das faces faz com a base é de, aproximadamente, 52º.

      Determine o volume e a área lateral da pirâmide.

Solução

Proposta de resolução

3.   Observe a figura que representa um paralelepípedo com os dados nela indicados.

      Determine no sistema sexagesimal:

a)   ;

b)   .

Solução

Proposta de resolução

4.   Os vértices de um triângulo têm, num referencial ortonormado, as coordenadas: A (0,0), B (4, 0) e C (1,  ).

a)   Mostre que o triângulo [ABC] é rectângulo.

b)   Represente  por α e determine: ,  e .

Solução

Proposta de resolução

5.   No tractor da figura, as rodas pequenas têm um raio de 30 cm.

a)   Determine o raio das rodas grandes sabendo que deram 10.000 voltas para percorrer 50 Km.

b)   Quantas voltas deram as rodas pequenas durante o mesmo percurso?

Solução

Proposta de resolução

6.   A figura representa um prisma quadrangular regular, cuja aresta lateral é tripla da aresta da base x.

a)   Exprima, em função de x, o comprimento da diagonal do prisma.

b)   Calcule o ângulo da diagonal do prisma com uma aresta lateral complanar com ela.

Solução

Proposta de resolução

7.   Determine , sabendo que  é um ângulo agudo e que:

a)   ;

b)   .

Solução

Proposta de resolução

8.   Determine , sabendo que  é um ângulo agudo e que .

Solução

Proposta de resolução

9.   Sendo , determine  e , sabendo que .

Solução

Proposta de resolução

10. Sabendo que  e que , calcule o valor exacto de:

a)   ;

b)   .

Solução

Proposta de resolução

11. Calcule o valor exacto de:

a)   ;

b)   ;

c)   .

Solução

Proposta de resolução

12. Simplifique as expressões:

a)   ;

b)   .

Solução

Proposta de resolução

13. Simplifique a expressão:

.

Solução

Proposta de resolução

14. Mostre que, sempre que as expressões têm significado, se tem:

a)   ;

b)   ;

c)   ;

d)   .

Proposta de resolução

15. A tangente de um ângulo agudo  é igual a 0,31.

a)   Usando fórmulas trigonométricas, calcule  e .

b)   Confirme, usando a função TAN^-1 da calculadora, os resultados obtidos na alínea anterior.

Solução

Proposta de resolução

 

 

 

SOLUÇÕES

 

1.   705 m (aprox.)

2.   2.595.508 m³; 85.924 m² (aprox.)

3.  

a)   36º 41’ 57’’ (aprox.).

b)   74º 29’ 55’’ (aprox.).

4.  

b)   ; ; .

5.  

a)   79,6 cm (aprox.).

b)   26.526 (aprox. p. e.).

6.   

a)   .

b)   25º 14’ 22’’ (aprox.).

7.  

a)   0,6.

b)   .

8.    

9.   ; .

10.

a)   .

b)   .

11.

a)   .

b)    

c)   .

12.

a)   .

b)   .

13.  

15.

a)   0,30; 0,96 (aprox.)

 

 

 

Proposta de Resolução:

 

1.   Conhecidos os ângulos de elevação, podemos exprimir as distâncias de A a C e de B a C, obtendo-se, respectivamente:  e .
Considerando a figura ao lado e aplicando o Teorema de Pitágoras aos dois triângulos, podemos obter as duas relações seguintes:

    e    .

      Substituindo na segunda equação o valor de d² obtido na primeira, obtemos sucessivamente:

       

      Logo,  (m).

 

2.   Considere-se a pirâmide seccionada por um plano que contenha a sua altura e seja perpendicular a uma aresta da base; seja h a altura da pirâmide e y a altura das faces laterais. (veja a figura ao lado)

      Atendendo à figura, temos  e .

      Logo,  (m³)   e    (m²).

 

3.  

a)   Por exemplo, . Logo, .

b)   Por exemplo, . Logo, .

4.  

a)   Ora, ,  e .
Dado que , então o triângulo [ABC] é rectângulo em C.

b)   Logo, ,  e . (faça uma figura)

5.  

a)   Em metros, o perímetro da roda grande é . Logo, o seu raio é  m.

b)   Como a roda grande tem um perímetro de 5 m, a distância percorrida foi de 50.000 metros.
Logo, a roda pequena terá dado  voltas.

6.  

a)   Aplicando o Teorema de Pitágoras no espaço, vem , .

b)   Designado por y o comprimento da aresta lateral, será , . Designando por α a amplitude do ângulo pretendido, temos , donde .

7.  

a)   Como α é a amplitude de um ângulo agudo, as suas razões trigonométricas são positivas. Logo, pela fórmula fundamental da trigonometria, temos .

b)   Como α é a amplitude de um ângulo agudo, as suas razões trigonométricas são positivas. E como , vem , logo .

8.   Resolvendo a equação do segundo grau, vem:

 

      Como α é a amplitude de um ângulo agudo, as suas razões trigonométricas são positivas, logo . Assim, , pelo que .

9.   Como ,  e , pois , vem  e, pela fórmula fundamental da trigonometria, .

10.

a)   Como , então .
Logo, pela fórmula fundamental da trigonometria, temos .

b)   Logo, .

11.

a)   .

b)   .

c)   .

12.

a)   , (para os valores de α em que as expressões têm significado).

b)   .

13. .

14.

a)  
.

b)   .

c)   .

d)   .

15.

a)   Como ,  e , pois , vem  (  ) e, pela fórmula fundamental da trigonometria,  (  ).

b)