Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Vamos aceitar a sugestão dada.
Ora, , logo ;
, logo .
Assim, a área do polígono [ABEG] é dada em função de , por:

b)  

Ora,  e .
Para , o polígono sombreado é o triângulo rectângulo [ADG], cuja área é .
Para , o polígono sombreado é o quadrado [ABFG], cuja área é também .

c)  

Ora,

A equação dada apenas tem uma solução no intervalo : , que será então o maximizante da área do polígono sombreado.
O valor máximo da área é, então, .

d)  

Pretende-se resolver a equação  no intervalo .
Para isso consideraram-se as funções y₁ e y₂ (a seguir indicadas) e, (numa janela adequada) tendo em consideração o domínio da função dada, determinaram-se as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos:

         

Portanto, de acordo com o arredondamento pedido, os valores desejados são:  ou .

2.  

Ora, .
E, .
Dado que , então .
Assim, utilizando a fórmula fundamental da trigonometria, vem: .

Logo, .

3.  

a)  

Tendo em consideração a figura ao lado, vem imediatamente .

b)  

4.  

a)  

Seja t a recta perpendicular a r e que contém o ponto A.
Ora, como o declive da recta r é , então o declive da recta t é .
Assim, a equação reduzida de t é do tipo . Como A pertence a t, então as coordenadas de A verificam esta equação, logo . Logo, a equação pedida é .

b)  

Tendo em consideração que os vectores  e  são perpendiculares, o seu produto escalar é zero.

Ora,  e .
Assim, .
Portanto, .

5.  

a)  

Sendo  e , então .
Logo,  é uma equação vectorial da recta pedida.

b)  

Os vectores  e  são vectores directores das rectas consideradas.
Ora, .
Logo,  e, portanto, o ângulo das duas rectas é .

c)  

Sendo  e , então .
Ora, um vector perpendicular a  é, por exemplo, , pois .
Como , então  é um vector perpendicular a  e de norma 10.

 

 

FIM