Prova Escrita de Matemática

Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Prova Escrita de Matemática

01/03/2004 Turmas A e B - Prova 1 11.º Ano

1.ª Parte

Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos.

1. Na figura está representada parte de uma parábola, que é o gráfico de uma certa função g, de domínio IR.
Seja h a função de domínio IR, definida por .
Qual pode ser o conjunto de zeros da função h ?

[A] [B]

[C] [D]

2. Na figura está representado um cubo, em referencial o. n. Oxyz.
Três das arestas do cubo estão contidas nos eixos do referencial.
Os pontos P e Q são dois dos vértices do cubo, pertencentes ao plano yOz.

Admita que um ponto R, partindo da origem do referencial, se desloca ao longo do semieixo positivo Ox.
Seja g a função que faz corresponder, à abcissa x do ponto R, a área da secção produzida no cubo pelo plano PQR.

Qual dos seguintes pode ser o gráfico da função g ?

[A] [B]

[C] [D]

3. Um tanque tem a forma de um paralelepípedo rectângulo, com 7 m de comprimento, 5 m de largura e 4 m de altura. Admita que o tanque está vazio. Num certo instante, é aberta uma torneira que verte água para o tanque, à taxa de 2 m³ por hora, até este ficar cheio.

Qual é a função que dá a altura, em metros, da água no tanque, t horas após a abertura da torneira?

[A] [B]

[C] [D]

4. Considere, num referencial o. n. Oxyz , o plano definido pela equação .
Para um certo valor real m, a condição define uma recta paralela ao referido plano.

Indique o valor de m.

[A] [B] [C] [D]

5. Um navio encontra‑se atracado num porto.
A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré.
Admita que h é dada, em função do tempo x, por .

A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré‑alta, é:

[A] 4 [B] 10 [C] 13 [D] 16

2.ª Parte

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.

1. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:

· A base da pirâmide tem centro F de lado 2

· G é o ponto médio da aresta [BC]

· x designa a amplitude do ângulo FGE

a) Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por

b) Determine o valor de x para o qual a área total da pirâmide é igual a 12.

c) Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução do problema da alínea anterior.

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondados às centésimas.

d) Considere agora a pirâmide representada, em referencial o. n. Oxyz, onde:

· A base da pirâmide está contida no plano xOy

· O vértice D coincide com a origem do referencial

· O vértice A tem coordenadas (2, 0, 0)

· A altura da pirâmide é 4

d1) Mostre que uma condição que define a recta AE é .

d2) Qual a intersecção da recta AE com o plano de equação .

d3) Considere o lugar geométrico dos pontos , tais que .
Identifique esse lugar geométrico e caracterize-o através de uma equação cartesiana.

2. Para o circuito eléctrico esquematizado na figura ao lado, a potência dissipada na resistência variável é dada, em Watt (W), por

( , em W).

a) Calcule e interprete o seu significado no contexto da situação descrita.

b) Atendendo a que , justifique que quando e interprete o seu significado no contexto da situação descrita.

c) Determine, analiticamente, para que valores de r a potência dissipada é igual a 8 W.

d) Recorra à calculadora para determinar graficamente qual a potência máxima possível de dissipar nessa resistência e para que valor de r isso acontece.

3. Considere as seguintes três funções, reais de variável real, assim definidas:

de domínio

(função polinomial de grau 2)

a) Determine e .

b) Caracterize a função .

c) Mostre que e, seguidamente, caracterize a função .

d) Resolva a condição .

FIM

Formulário

Áreas de figuras planas

Volumes

Losango:

Trapézio:

Polígono regular:

Círculo:

Prisma:

Cilindro:

Pirâmide:

Cone:

Esfera:

COTAÇÕES

1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos

		E R R A D A S
		0	1	2	3	4	5
C E R T A S	0	0	0	0	0	0	0
	1	9	6	3	0	0
	2	18	15	12	9
	3	27	24	21
	4	36	33
	5	45

Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos

Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos

Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos

Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.

2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos

1. ....................................................................................................................................................... 66 pontos

a) 12

b) 12

c) 12

d1) 8

d2) 12

d3) 10

2. ....................................................................................................................................................... 41 pontos

a) 7

b) 8

c) 14

d) 12

3. ....................................................................................................................................................... 48 pontos

a) 8

b) 12

c) 14

d) 14

Total 200 pontos