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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 07/06/2004 Turmas A e B - Prova 1 11.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos.
1. Na figura estão representados dois ciclistas,
A e B, pedalando a caminho de um cruzamento. Ao chegarem ao cruzamento, ambos
continuam em frente. Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função que, para cada valor de t, dá a distância entre os dois ciclistas, no instante t ? [A] 2. Num referencial o. n. Oxyz, considere: · a esfera definida pela condição · o plano de equação
Qual é a área da intersecção da esfera com o plano? [A] [B] [C] [D]
3. Na figura está representada parte do gráfico
de uma função h, de domínio IR, bem como parte da recta tangente
ao gráfico de h, no ponto . Qual das expressões seguintes pode definir h’, função derivada de h ? [A] [B] [C] [D] 4. Qual é o limite da sucessão definida por ? [A] [B] [C] [D]
5. Uma dada função h, polinomial de grau inferior a quatro, satisfaz as seguintes condições: · a taxa média de variação no intervalo é negativa; · admite inversa (isto é, existe ); · existe pelo menos um , tal que (h' designa a função derivada de h)
Das funções abaixo representadas graficamente, a única que satisfaz as três condições é: [A] 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.
1. Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEF]. Tem-se que: · [ABCD] é um quadrado de lado 2 ·
BD é um arco de circunferência de centro em A; · x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAE ( ) a) Mostre que a área do polígono [ABEF] é dada, em função de x, por: NOTA: Tenha em consideração que e que (Porquê?). b) Diga para que valor tende quando e interprete geometricamente esse valor. c) Aprenderá mais tarde que, para encontrar o valor de x que torna a área máxima, terá de resolver a equação: c1) Resolva-a, determine aquele valor de x e encontre o valor máximo da área. c2) Recorrendo
à sua calculadora, verifique os valores que determinou na alínea anterior.
2. No referencial ortonormado (O, x, y, z), considere a pirâmide [ABCD]. Tem-se que: · · · A (2, 0, 0) e C (0, 8, 0).
a) Determine a amplitude do ângulo CDA, com aproximação à décima de grau. b) Mostre que o vector é normal ao plano BCD e determine uma sua equação cartesiana. 3. Um objecto move‑se ao longo de uma recta e a sua distância, em centímetros, a um ponto de referência fixo é dada em função do tempo t, em segundos, por , com . Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as três alíneas seguintes. a) Determine o período de tempo durante o qual o objecto distou do ponto de referência 15 cm ou menos? b) Prove que a taxa média de variação de d
no intervalo é . c) Sabe-se que . (d'
designa a derivada de d) 4. Considere as funções f, g e h, de domínios , e , assim definidas:
a) Determine os valores de x para os quais . b) Calcule , sendo h’ a função derivada de h. c) Caracterize , função inversa de g. 5. Considere as sucessões, assim definidas: e a) Mostre que a sucessão ( ) é monótona e determine uma expressão do seu termo geral. b) Prove que a sucessão ( ) é uma progressão geométrica decrescente. c) Pelos teoremas sobre infinitamente grandes e sobre infinitésimos, mostre que e que . NOTA: Para facilitar a resolução, pode referenciar os teoremas por T1, T2, ... T8, conforme o seu manual.
FIM
Formulário
COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 38 pontos a) 10 b) 8 c1) 12 c2) 8 2. ....................................................................................................................................................... 27 pontos a) 13 b) 14 3. ....................................................................................................................................................... 31 pontos a) 15 b) 8 c) 8 4. ....................................................................................................................................................... 27 pontos a) 10 b) 7 c) 10 5. ....................................................................................................................................................... 32 pontos a) 10 b) 12 c) 10 Total 200 pontos |
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[C] 
[D] 
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