Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  
O ângulo AOB é suplementar do ângulo de amplitude  assinalado na figura, logo  (em radianos).

Como os segmentos [AO] e [OB] são raios da mesma circunferência, então o triângulo [OAB] é isósceles. Consequentemente, os ângulos opostos a estes lados são geometricamente iguais, pois, num triângulo, a lados geometricamente iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais.

Sabendo, ainda, que a soma dos ângulos internos de um triângulo é um ângulo raso, tem-se:  (em radianos).

b)  
Seja B’ a projecção ortogonal do ponto B sobre o eixo Ox.
Relativamente ao ângulo agudo BAB’ do triângulo rectângulo [ABB’], tem-se:  (1).
Por outro lado, relativamente ao triângulo rectângulo [OBB’], tem-se:  e .
Obtém-se, assim,  e .
Logo, substituindo em (1) os valores encontrados, vem: , c.q.m.

c1)  
Da alínea b), sabemos que  e que .

Logo, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [ABB’], temos:

c2)  
Para , vem: .
Dado que , então  radianos.

c3)  
Como , então .
Para este valor de , o perímetro do triângulo [AOB] é .

2.  

a)  

b)  
Considerando que  e , vem .
Dado que , então  e .
Logo, .

3.  

a)  
No intervalo considerado, .
Logo, no intervalo considerado, o conjunto-solução da condição é .

b)  
Como , então .
Como , então .
Dado que o polígono [ABCD] é um trapézio rectângulo, a sua área é:
.

c)  
A abcissa do ponto E satisfaz a seguinte condição: .
Ora,

      Atribuindo valores convenientes a k, obtém-se:

      Portanto, a abcissa do ponto E é .

 

 

FIM