Escola
Secundária/2,3 da Sé-Lamego
Proposta de
Resolução da Prova Escrita de Matemática A
01/06/2011 Turma
A - Provas 1 e 2 11.º
Ano
1.ª Parte
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Questão
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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Prova 1
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D
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B
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B
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A
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C
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D
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A
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A
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Questão
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7
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6
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8
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5
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1
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4
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2
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3
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Prova 2
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B
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A
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C
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D
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B
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C
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D
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D
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2.ª Parte
1.
Ora, ,
com .
Calculemos os zeros da função derivada: .
Assim, temos:
·
·
·
·
A menor distância da
sonda ao ponto de referência foi de 1 metro, nos instantes 1 minuto e 3 minutos
após o início da observação; a maior distância da sonda ao ponto de referência
foi de 4 metros
e teve lugar no início da observação.
2.
a)
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [ABC], temos: .
Por outro lado, .
Assim, o preço de colocação da conduta, em milhares de euros, é dado, em função
de x, em quilómetros, por:
,
com .
b)
Ora,
Confirmemos que o único valor pertence ao domínio da função é solução da
equação:
Portanto, o preço de colocação da conduta é de 22 mil euros para quilómetros.
c)
Como e ,
então .
Consequentemente, .
Ora, .
A função é estritamente crescente e contínua.
Por isso, como e ,
é .
Por outro lado,
Dado que ,
então será ,
pelo que .
3.
a)
A sucessão que modela a situação é uma progressão aritmética de razão 4, pois .
Assim, como e ,
temos: ,
c.q.m.
b)
O programa de recuperação do atleta decorreu durante 29 dias.
Determinemos a soma dos primeiros 29 termos da sucessão :
No total, o atleta de dedicou 31 horas e 54 minutos ao exercício (
).
4.
a)
Ora, .
Dado que ,
então a sucessão é estritamente decrescente, pois .
Como a sucessão é estritamente decrescente e o primeiro termo é ,
então (1).
Por outro lado, .
Como ,
então e, consequentemente, (2).
Assim, por (1) e (2), temos: .
Logo, a sucessão é limitada, pois é limitado o conjunto dos
seus termos.
b)
A sucessão é uma progressão geométrica de razão ,
pois .
Portanto a soma dos primeiros vinte termos desta sucessão é:
c)
Como sabemos, .
Ora, sendo ,
temos que ,
pelo que .
Assim, por T1, .
Por outro lado, tem-se que ,
sendo ,
para todo o .
Logo, por T3, a sucessão é um infinitésimo.
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T1
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Se e, a partir de uma certa ordem, ,
então .
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T2
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Se é um infinitésimo e se, depois de uma certa
ordem, ,
então também é um infinitésimo.
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T3
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Se é um infinitamente grande e ,
para todo o ,
então é um infinitésimo.
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T4
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Se é um infinitésimo e ,
para todo o ,
então é um infinitamente grande.
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FIM
(1) O vector é normal ao plano que contém a base do cone.
Ora, o único plano perpendicular a este vector é o plano de equação ,
pois um vector normal a este plano é ,
o qual é colinear com o vector .
Falta mostrar que o ponto C pertence a esse plano: .
(2) O trapézio tem de área unidades de área.
Portanto, o triângulo [ADP] deverá ter 100 unidades de área.
Ora, .
Logo, .
(7) Seja Q’ a projecção ortogonal do ponto Q sobre Ox.
Ora, .
(8) Por observação do gráfico de f, equação da assímptota horizontal é da forma ,
com ,
e a equação da assímptota vertical é da forma ,
com .
Portanto, será: ,
isto é, e ,
ou seja, .
(Note que é a solução da equação ,
isto é, é o único valor real que não pertence ao
domínio da função f : ,
com .)
