11.º Ano :: Prova Escrita de Matemática A

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Prova Escrita de Matemática A

07/12/2010 Turma A - Prova 2 11.º Ano

1.ª Parte

Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

Atenção! Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na figura estão representados dois vectores, e , de normas 12 e 15, respectivamente.

· No segmento de recta [AD] está assinalado um ponto B.

· No segmento de recta [AE] está assinalado um ponto C.

· O triângulo [ABC] é rectângulo e os seus lados têm 3, 4 e 5 unidades de comprimento.

Indique o valor do produto escalar .

[A] [B]

[C] [D]

2. Seja .

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

[A] [B] [C] [D]

3. O conjunto de pontos P (x, y) do plano que verificam a condição , sendo A (0, 2) e B (-2, 4), é:

[A] a recta que contém A e é perpendicular a [AB].

[B] a mediatriz de [AB].

[C] a recta tangente à circunferência de centro em A, no seu ponto B.

[D] a circunferência de diâmetro [AB].

4. Na figura estão representadas, em referencial o. n. xOy:

· parte do gráfico de uma função h;

· uma recta t, tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 1.

Tal como a figura sugere, a recta t intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa e o eixo Oy no ponto de ordenada 1.

Indique o valor da inclinação da recta t (aproximação às décimas).

[A] [B] [C] [D]

5. Considere a equação .
Qual dos seguintes valores é solução desta equação?

[A] [B] [C] [D]

2.ª Parte

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.

1. Na figura está representada, em referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular.

Sabe-se que:

· a base [RSTU] é um quadrado de área 4 com centro na origem do referencial;

· a aresta [RS] é paralela ao eixo Oy;

· M é o ponto médio da aresta [ST];

· o vértice V tem coordenadas , com ;

· designa a amplitude do ângulo OVM, com .

a) Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de , por:

( )

b) Para um certo valor de , sabe-se que .
Mostre que, para esse valor de , a área total da pirâmide é .

c) Considere o seguinte problema:

Qual é o valor de para o qual a área total da pirâmide é tripla da área da base?

Traduza o problema por meio de uma condição e, utilizando a sua calculadora, resolva-a graficamente.
Apresente o valor pedido arredondado às milésimas.
Apresente na sua resposta os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas relevantes de alguns pontos.

d) Admita agora que o vértice V tem coordenadas .

d1) Mostre que a recta s: é perpendicular ao plano STV e determine uma equação cartesiana deste plano (STV).

d2) Considere a superfície esférica E, de equação .
Para um certo valor de pertencente ao intervalo , o ponto P de coordenadas pertence à superfície esférica E.
Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto P.

d3) Considere os pontos do espaço que satisfazem a condição .
Que lugar geométrico definem os pontos Q?
Caracterize-o por uma condição em x, y e z.

2. Na figura estão representadas, em referencial o. n. xOy, uma recta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5.

Sabe-se que:

· os pontos A, B e E pertencem à circunferência;

· o ponto A também pertence ao eixo das abcissas;

· os pontos C e D são as projecções ortogonais de B sobre os semieixos das abcissas e ordenadas, respectivamente.

a) Observe o triângulo rectângulo [ABC].
Mostre que .

b) Admitindo que o declive da recta AB é igual a , resolva as duas alíneas seguintes:

b1) Determine a equação reduzida da recta perpendicular a AB e que contém o ponto A.

b2) Considere a recta r: .
Determine a amplitude do ângulo formado pelas rectas AB e r.

3. Das questões seguintes, resolva apenas uma:

A) Considere o enunciado da questão 2. (questão anterior)
Sabendo que , determine a área do sector circular sombreado.

B) Resolva e classifique o seguinte sistema de equações:

FIM

Formulário

Áreas de figuras planas

Volumes

Losango:

Trapézio:

Polígono regular:

Círculo:

Prisma:

Cilindro:

Pirâmide:

Cone:

Esfera:

COTAÇÕES

1.ª Parte ............................................................................................................................................................................ ... 40 pontos

Cada questão com resposta certa ........................................................................................... 8 pontos

Cada questão com resposta errada, não respondida ou anulada..................................... 0 pontos

2.ª Parte ............................................................................................................................................................................ . 160 pontos

1. ................................................................................................................................................... 100 pontos

a) 16

b) 16

c) 16

d1) 20

d2) 16

d3) 16

2. ................................................................................................................................................... 45 pontos

a) 15

b1) 15

b2) 15

3. ................................................................................................................................................... 15 pontos

Total 200 pontos