11.º Ano :: Prova Escrita de Matemática A

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Prova Escrita de Matemática A

01/06/2011 Turma A - Prova 1 11.º Ano

1.ª Parte

Para cada uma das seguintes 8 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

Atenção! Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. Na figura está representado um cone recto, sendo V o vértice e C o centro da base.
Num referencial o.n. Oxyz, as coordenadas dos pontos referidos são e .

Uma equação do plano que contém a base do cone é:

[A] [B]

[C] [D]

2. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.
Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB].
Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo PDA.
Pretende-se determinar o valor de para o qual [PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área.

Qual das equações seguintes traduz este problema?

[A] [B] [C] [D]

3. Seja a sucessão de termo geral .
Seja a sucessão de termo geral .
Qual é o valor para que tende ?

[A] [B] [C] [D]

4. Na figura encontram-se representadas graficamente as funções e , de domínios e , respectivamente.
As rectas de equação e são assímptotas do gráfico de .

O conjunto dos zeros de é:

[A] [B]

[C] [D]

5. Na figura está representada parte do gráfico de uma função .
Seja a função, de domínio , definida por .

Qual é o valor de ?

[A] [B]

[C] [D]

6. Seja C o centro de uma esfera de diâmetro [AB] com comprimento 6.

Qual é o valor do produto escalar ?

[A] [B] [C] [D]

7. Na figura está representado o círculo trigonométrico.
Tal como a figura sugere:

· O é a origem do referencial;

· Q pertence à circunferência;

· P é o ponto de coordenadas ;

· e R é o ponto de coordenadas .

A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é .

Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [OQR]?

[A] [B] [C] [D]

8. Para um certo valor de e para um certo valor de , a expressão define a função cujo gráfico está parcialmente representado na figura.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

[A] e [B] e

[C] e [D] e

2.ª Parte

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.

1. Um computador regista a distância de uma sonda em relação a um ponto durante três minutos.
A partir dos registos obtidos, foi construído o seguinte modelo matemático:

em que é expresso em metros e em minutos.

Durante o intervalo de tempo de observação, determine, por processos exclusivamente analíticos, os instantes em que a sonda esteve mais próxima e mais afastada do ponto de referência, assim como a distância ao ponto nesses instantes.

2. Pretende-se ligar uma fábrica F a uma central de tratamento de resíduos C, por meio de uma conduta, conforme a figura.

Tal como a figura sugere:

· A conduta deve seguir ao longo de um muro, até um certo ponto B, e daí deve seguir em linha recta até à central de tratamento;

· Designou-se por A o ponto do muro mais próximo da central de tratamento;

· A distância da fábrica ao ponto A é 4 km e a distância deste ponto à central é 2 km;

· Designou-se por a distância entre A e B (em quilómetros).

O preço de colocação da conduta é:

· três mil euros por quilómetro, ao longo do muro;

· cinco mil euros por quilómetro, do muro à central de tratamento.

a) Mostre que o preço de colocação da conduta, em milhares de euros, é dado, em função de , em quilómetros, por:

, com

b) Determine o(s) valor(es) de para o(s) qual(ais) o preço de colocação da conduta é de 22 mil euros.

c) Seja a função afim definida por .
Seja .
Sendo a função inversa da função , mostre que:

Sugestão: Poderá ser útil reparar que a função r é contínua e estritamente crescente.

3. Um atleta, após uma lesão, iniciou um programa de recuperação física que consistia no seguinte:

· No 1.º dia é feito um certo exercício durante 10 minutos;

· Nos dias seguintes, há um acréscimo de 4 minutos ao tempo dedicado ao exercício no dia anterior.

Considere a sequência dos tempos gastos, em cada dia, pelo atleta no exercício.

a) Mostre que uma expressão do termo geral da sucessão que modela a situação é .

b) O atleta iniciou o programa de recuperação no passado dia 3 de Maio.
Supondo que o programa de recuperação terminou ontem, dia 31 de Maio (inclusive), quantas horas e minutos dedicou, no total, o atleta ao exercício.

4. Considere as sucessões, assim definidas:

a) Mostre que a sucessão é limitada.

Sugestão: Poderá ser útil começar por mostrar que a sucessão é monótona.

b) Calcule a soma dos primeiros 20 termos da sucessão , indicando o resultado com aproximação às milionésimas.

c) Recorrendo às propriedades sobre infinitamente grandes e sobre infinitésimos, mostre que a sucessão é um infinitésimo.

FIM

COTAÇÕES

1.ª Parte ............................................................................................................................................................................ ... 64 pontos

Cada questão com resposta certa ........................................................................................... 8 pontos

Cada questão com resposta errada, não respondida ou anulada..................................... 0 pontos

2.ª Parte ............................................................................................................................................................................ . 136 pontos

1. ................................................................................................................................................... 20 pontos

2. ................................................................................................................................................... 50 pontos

a) 16

b) 17

c) 17

3. ................................................................................................................................................... 26 pontos

a) 12

b) 14

4. ................................................................................................................................................... 40 pontos

a) 16

b) 14

c) 10

Total 200 pontos

Formulário

Áreas de figuras planas

Volumes

Losango:

Trapézio:

Polígono regular:

Círculo:

Prisma:

Cilindro:

Pirâmide:

Cone:

Esfera:

T1	Se e, a partir de uma certa ordem, , então .
T2	Se é um infinitésimo e se, depois de uma certa ordem, , então também é um infinitésimo.
T3	Se é um infinitamente grande e , para todo o , então é um infinitésimo.
T4	Se é um infinitésimo e , para todo o , então é um infinitamente grande.