Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

A aposta simples é constituída pela selecção de 6 dos 49 números, de 1 a 49.
Ao efectuar uma aposta múltipla de 12 cruzes estamos a seleccionar 12 desses 49 números.
Ao convertermos essa aposta múltipla em apostas simples temos de seleccionar de cada vez apenas 6 desses 12 números. Cada uma dessas apostas diferirá das outras quando pelo menos um dos números seleccionados é diferente, não interessando a ordem por que são escolhidos. Trata‑se, portanto, de determinar quantos subconjuntos de 6 elementos é possível obter de um conjunto de 12.
Assim, a aposta múltipla de 12 cruzes corresponde a  apostas simples.

b)  

Para 3 acertos:
Das 10 cruzes, três delas assinalam 3 números certos (C) - pertencentes à chave - e as restantes sete assinalam 7 números errados (E) - não pertencentes à chave.

C C C E E E E E E E

Como a aposta simples é composta por 6 cruzes (seis números), convertendo a aposta múltipla em apostas simples conclui‑se que as apostas premiadas, além das três cruzes certas, serão completadas com 3 cruzes erradas, escolhidas de entre 7 possibilidades.
Assim, o número de apostas (simples) premiadas com o 5.º prémio será .

Para 4 acertos:
Raciocinando da mesma maneira, temos agora a situação: C C C C E E E E E E
Para o 4.º prémio será: .
Para o 5.º prémio será: .(Note que para o 5.º prémio apenas há 3 números certos em cada uma das apostas simples premiadas, ficando, portanto, um deles (dos quatro certos) de fora)

2.  

Como , substituindo os valores conhecidos, vem:

.

Por outro lado, como , substituindo os valores conhecidos, vem:

.

Dado que , visto ser , os acontecimentos A e B não são independentes.

3.  

Ora,
                

4.  

a)  

Ora, .
Portanto, é de 25% a probabilidade de ter chegado atrasado dado que veio de teleférico.

b)  

Ora, .
Portanto, é de 1% a probabilidade de ter vindo de autocarro e ter chegado atrasado.

c)  

Ora, .
Portanto, é de 21% a probabilidade de ter chegado atrasado.

d)  

Ora, .
Portanto, é de 79% a probabilidade de não ter chegado atrasado.

e)  

Ora, .
Portanto, é de 24% a probabilidade de ter vindo de autocarro sabendo que chegou a horas.

5.  

a)  

Há duas maneiras para dispor o Às e o Rei (o Ás na ponta esquerda e o Rei na ponta direita; o Rei na ponta esquerda e o Ás na ponta direita). Para cada uma destas configurações, as restantes 5 cartas permutando entre si nos 5 lugares disponíveis entre as pontas, originam  disposições diferentes.
Logo, nas condições indicadas, podem ser feitas  disposições diferentes.

b)  

Porque há mais configurações em que o Rei não fica ao lado da Dama do que configurações em que estas duas cartas ficam juntas, optamos por contar as disposições desfavoráveis.
Há seis posições na fila que garantem a possibilidade de estas duas cartas ficarem juntas (1-2, 2-3, ... , 6-7). Para cada uma destas possibilidades, podemos permutar estas duas cartas de lugar e, para cada uma dessas configurações, as restantes 5 cartas podem permutar entre si nos 5 lugares disponíveis. Portanto, o número de disposições em que o Rei e a Dama  ficam juntos é .
Dado que o número de disposições das 7 cartas sem qualquer restrição é , o número de disposições de acordo com o pedido é .
(Há 15 disposições (5+4+3+2+1 - verifique) em que as duas cartas consideradas não ficam uma ao lado da outra. Logo,  )

c)  

De acordo com a Regra de Laplace, a probabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis, quando estes são todos equiprováveis e em número finito (que é o caso).
Vejamos o número de casos possíveis: existem  maneiras diferentes de escolher dez, das quinze cartas, para dispor sobre a mesa; para cada uma destas maneiras, existem  maneiras diferentes de essas dez cartas ocuparem os dez lugares nessas duas filas de cinco cartas. Logo, .
Vejamos agora o número de casos favoráveis: existem  maneiras diferentes de escolher cinco, das oito cartas de copas, e cinco, das sete cartas de paus, para dispor nas duas filas; para cada uma destas maneiras, existem  maneiras diferentes de essas cartas ocuparem as duas filas, de acordo com o enunciado (as de copas podem ficar numa fila e as de paus na outra, ou ao contrário; para cada uma destas duas maneiras, existem  maneiras diferentes de as cinco cartas de copas ocuparem os cinco lugares da sua fila e, de igual modo, existem  maneiras diferentes de as cinco cartas de paus ocuparem os cinco lugares da sua fila). Logo, .
Daí que a expressão  traduz a probabilidade pedida.

6.  

a)  

Há  maneiras diferentes de retirar duas bolas, uma de cada caixa.
Para que as bolas sejam da mesma cor, ou são ambas amarelas ou são ambas verdes. Há  maneiras distintas de extrair 2 bolas verdes, uma de cada caixa; e  maneiras distintas de extrair 2 bolas amarelas, uma de cada caixa.
Logo, a probabilidade pedida é .
(  ) (Porquê)

b)  

A probabilidade de sair bola verde, se saiu face 1 no lançamento do dado, , é  .
Como saiu face 1 no lançamento do dado, será extraída uma bola da caixa B (a bola só seria extraída da caixa A, se tivesse saído face par no lançamento do dado, o que não aconteceu). A caixa B contém sete bolas (seis verdes e uma amarela), pelo que a probabilidade de sair uma bola verde da caixa B é .