Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Com os 9 algarismos considerados podemos formar  números de quatro algarismos (nove hipóteses para cada um dos quatro algarismos).

Os números favoráveis têm exactamente dois algarismos 5, podendo estes algarismos figurar em  posições diferentes. Para cada uma destas 6 configurações, obtêm-se  números nas condições pretendidas (há oito hipóteses para cada posição, os nove algarismos iniciais excepto o algarismo 5).

Deste modo, existem  números nas condições pretendidas.

Assim,  é a probabilidade pedida.

b)  

Os números pretendidos são da forma .
Como a soma dos seus quatro algarismos é par, conclui-se que a soma dos 3 algarismos em falta é ímpar. Portanto, existem duas hipóteses: (A) os 3 algarismos em falta são ímpares ou (B) 2 são pares e 1 é ímpar.

Na hipótese A, apenas temos disponíveis os algarismos 1, 3, 5 e 7, pelo que podemos formar  números nas condições pretendidas.

Na hipótese B, estão disponíveis os algarismos ímpares 1, 3, 5 e 7 e todos os pares (2, 4, 6 e 8). O algarismo ímpar pode ocupar 3 posições diferentes, podendo esta posição ser preenchida de 4 maneiras diferentes (pois existem 4 algarismos ímpares disponíveis). Resta preencher duas posições com dois dos quatro algarismos pares disponíveis, que pode ser feito de  maneiras diferentes.

Logo, nesta hipótese B existem  números que satisfazem o pedido.

Assim, o número pedido é .

2.  

a)  

b)  

Como , o número complexo  não pertence a A.
Como , então .
Logo, também  não pertence a A.

c)  

Sendo , podemos considerar .
Logo, .

3.  

a)  

Em metros, as alturas dos pilares A e B são dadas, respectivamente, por  e . Como os pilares têm a mesma altura, vem:

Portanto, o vão do arco é de 8 metros.

b)  

Ora, , .

 

Confirma-se, assim, que é num ponto equidistante dos dois pilares que a distância do arco ao tabuleiro da ponte é mínima.

4.  

a)  

Temos , .
Como , podemos concluir que os zeros de g’ no intervalo  são  e .

Assim, considerando a representação gráfica de g, podemos concluir que a abcissa do ponto B é , pelo que a sua ordenada é , c.q.m..

b)  

Temos , .
Ora, .

No intervalo , g’’ anula em  e em , mudando de sinal em cada um desses pontos. Logo, as abcissas pedidas são  e .

5.  

a1)

Como f é uma função contínua em  (pois é o quociente de duas funções contínuas nesse intervalo e a função divisor não se anula nesse mesmo intervalo) e em  (pois é a soma de duas funções contínuas), apenas poderá haver assimptota vertical em .

Ora,   e  .
Portanto, a recta de equação  é a única assimptota vertical (unilateral) do gráfico de f.

Como não existe   e  , não existe qualquer assimptota horizontal ao gráfico de f.

a2)

Sendo , temos:

 

A função f tem um máximo no intervalo , que é igual a , pois .

b)  

Definidas as funções  (em  ),  (em  ) e , depois de ajustada uma janela de visualização adequada ao intervalo dado, procuraram-se as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico de  com os gráficos de  e :

      

      

 

Da análise do gráfico, concluímos que as soluções inteiras da inequação  pertencentes ao intervalo  são: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 e 4.

Opção

A.  

     

 

Para , como podemos verificar na figura, a área  referida é nula. Logo, fica excluída a opção B.

Quando , a área referida é dada por  (função de proporcionalidade directa), logo também devemos excluir a opção D.

Interpretando dinamicamente a figura dada, constatamos que  , isto é, a área é 1 para  e é tão próxima de 1 quanto se queira, desde que se considere b suficientemente próximo de 1. Logo, a opção A também não é correcta.

Portanto, a função só pode estar representada graficamente na opção C.

B.  

Ora, , .

Os declives das r e s são, respectivamente, iguais a  e  (ambos valores negativos).

Logo, as rectas r e s não podem ser perpendiculares, pois, sendo os seus declives ambos negativos, não é verdade que  (os seus declives sejam simétricos e inversos um do outro).

C.  

FIM