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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 21/05/2004 Turmas A e B - Prova 1 12.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos.
1. Seja f uma função de domínio IR. Na figura está representada parte do gráfico de f’’, 2.ª derivada da função f. Relativamente ao gráfico da função f, qual das afirmações seguintes é verdadeira? [A] A concavidade está voltada para baixo no intervalo [0, b]. [B] A concavidade está sempre voltada para cima. [C] O ponto de abcissa a é um ponto de inflexão. [D] O ponto de abcissa c é um ponto de inflexão. 2. Considere uma função g, de domínio , contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que: · o gráfico de g tem uma única assimptota · Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, em referencial o. n. xOy, parte do gráfico da função g e, a tracejado, a sua assimptota? [A] 3. No desenvolvimento de , um dos termos é . Qual é o valor de k ? [A] [B] [C] [D]
4. A figura representa um trapézio [ABCD].
Tem-se que e . Qual das afirmações seguintes sobre a função f é verdadeira? [A] [B] [C] [D] 5. Seja E o espaço de resultados associado a uma
certa experiência aleatória. [A] [B] [C] [D] 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias. 1. Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9. a) Escolhe-se ao
acaso, um desses números. b) Explicitando o seu raciocínio, resolva o seguinte problema: «De todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as três condições seguintes: · começam por 9; · têm os algarismos todos diferentes; · a soma dos quatro algarismos é par. Quantos são esses números?» 2. Em C, conjunto dos números complexos, considere: e . a) Resolva a equação . Apresente a solução na forma algébrica. b) Seja A o
conjunto dos números complexos que satisfazem a condição: . c) Determine, na forma trigonométrica, .
3. A figura representa uma ponte, com o arco construído entre dois pilares A e B. Considere a função d definida por Admita que d(x) é a distância ao tabuleiro da ponte, em metros, do ponto do arco situado a x metros à direita do pilar A. a) Sabendo que os dois pilares têm a mesma altura, mostre que o vão do arco (c) é de 8 metros. b) Sem recorrer à calculadora gráfica, estude a função d quanto à monotonia e conclua daí que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante dos dois pilares que a distância do arco ao tabuleiro da ponte é mínima. Nota: Pode ser útil considerar que .
4. Na figura
está representado o gráfico de uma função g, de domínio ,
definida por . Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes. a) Mostre que a ordenada do pontos B é . b) Determine as abcissas dos pontos de inflexão do gráfico de g. 5. Considere a função f, de domínio , definida por . a) Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, resolva as alíneas seguintes: a1) Estude a função f quanto à existência de assimptotas paralelas aos eixos coordenados. a2) Verifique se a função f tem um máximo no intervalo e, em caso afirmativo, determine-o. b) Recorrendo à sua calculadora, determine as soluções inteiras da inequação pertencentes ao intervalo . Explique como procedeu, apresentando o gráfico, ou gráficos, em que se baseou para dar a sua resposta. Opção Das três questões seguintes, resolva apenas uma.
A. Na figura estão
representados, em referencial o. n. xOy, dois quadrados. Dos gráficos
seguintes, apenas um deles pode ser o da função A. Qual?
B. Considere a função de
domínio ,
definida por .
(e designa o número de Neper) Prove que as rectas r e s não podem ser perpendiculares. C. Considere a função g da Questão 4. Usando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule . FIM
COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 32 pontos a) 14 b) 18 2. ....................................................................................................................................................... 30 pontos a) 10 b) 8 c) 12 3. ....................................................................................................................................................... 23 pontos a) 10 b) 13 4. ....................................................................................................................................................... 22 pontos a) 12 b) 10 5. ....................................................................................................................................................... 38 pontos a1) 12 a2) 12 b) 14 6. ....................................................................................................................................................... 10 pontos Total 200 pontos |
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[B] 
[C] 
[D] 
