Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

1.   Um planeta tem três luas. Alphos demora 12 dias a executar uma volta completa em torno do planeta, Betos 4 dias e Gamos 8 dias.
Se as três luas estiverem em linha recta a 1 de Julho, em que data se voltará a verificar esta situação?

[A]    16 de Julho                                             [B]    18 de Julho

[C]    24 de Julho                                             [D]    25 de Julho

 

Comecemos por escrever os primeiros múltiplos de 4, 8 e 12:
M₄: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 20, 24, 28, 32, ...
M₈: 0, 8, 16, 24, 32, ...
M₁₂: 0, 12, 24, 36, ...
Ora, o menor múltiplo comum entre 4, 8 e 12 é 24.
Logo, passados 24 dias as três luas estarão novamente em linha recta, o que ocorrerá a 25 de Julho.

2.   A figura é constituída por dois quadrados, A e B, de áreas 4 cm² e 9 cm², respectivamente.
A figura tem de perímetro:

[A]    16 cm                                                       [B]    14,4 cm aproximadamente

[C]    3,6 cm aproximadamente                    [D]    52 cm

 

Os comprimentos dos lados dos quadrados A e B são, respectivamente,  e  centímetros.
Logo, a figura tem de perímetro  centímetros.

3.   Um teste de avaliação é dividido em três grupos: I, II e II.
As cotações são distribuídas pelos grupos na razão de 5:3:2, respectivamente.

      Se o total das cotações é 200, a cotação do grupo II é:

[A]    3                                       [B]    60                                    [C]    30                                    [D]    40

 

A razão entre as cotações do grupo II e da totalidade da prova (grupos I, II e III) é .
Como , então a cotação do grupo II é 60.

4.   Um parque automóvel tem capacidade para 180 carros.

      Quantos carros estão dentro do parque quando 30% está ocupado?

[A]    18                                    [B]    30                                    [C]    54                                    [D]    60

 

Como , quando essa situação ocorrer estarão 54 carros dentro do parque.

2.ª Parte

1.   O Boeing 747 tem 70,51 metros de comprimento.

a)   Qual é o comprimento (com aproximação ao milímetro) duma maqueta deste avião feito à escala de 1:125 ?

      Ora, .

      Assim,

                                                  O comprimento dessa maqueta é 56,4 centímetros.

b)   O que significa feito à escala de 1:125 ?

      A escala 1:125 é a razão entre as dimensões da maqueta e as respectivas dimensões reais do avião.
Portanto, significa que as dimensões na maqueta se obtêm dividindo por 125 as correspondentes dimensões reais do Boeing 747.

2.  

a)   Transcreve e completa, de forma a obteres uma afirmação verdadeira:

      Dois polígonos são semelhantes quando, de um para o outro, os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e a razão entre dois quaisquer comprimentos correspondentes é constante.

b)   Considera os dois polígonos representados à direita.
Usando a malha quadriculada do teu papel de prova (suposta igual à apresentada acima), constrói:

b1)   Uma ampliação do hexágono à escala 2:1.

b2)   Uma redução do triângulo à escala 1:3.

      A resolução das alíneas b1) e b2) encontra-se na figura mais à direita.

3.   Estes dois tabuleiros são semelhantes.

a)   Calcula a razão de semelhança, considerando-a como uma ampliação.

      Considerando uma ampliação, a razão de semelhança é: .

b)   Calcula o valor de x.

      Como a razão de semelhança é , então .

      Alternativa:

                      

4.   O “papagaio” do Pedro ficou preso num candeeiro.

a)   Justifica que os triângulos [DEB] e [ACB] são semelhantes.

      Considerando que o poste e o marco do correio são perpendiculares ao solo, então os ângulos CAB e EDB são rectos, logo são geometricamente iguais.

      O ângulo ABC é um ângulo comum aos dois triângulos considerados.

      Consequentemente, os dois triângulos são geometricamente iguais, pois, de um para o outro,  possuem dois pares de ângulos iguais, cada um a cada um.

b)   Determina a altura do candeeiro.

      Ora,

                                             O candeeiro tem 3,75 metros de altura.

5.   A mãe da Teresa ficou surpreendida ao chegar ao supermercado...

      Calcula a percentagem de aumento que teve o preço do azeite.

      O aumento no preço do litro do azeite foi de €0,50 (€3,00 - €2,50).

      Logo, a percentagem pedida é: .

      Alternativa:

                      

6.   Utilizando sempre que possível as regras das operações com potências, calcula o valor das seguintes expressões:

a)  

     

b)   ,    para  e .

      Fazendo a substituição das variáveis, vem: .

 

7.   Dois ciclistas resolveram fazer uma corrida de 100 km para ver qual chegava primeiro.
Um deles sofreu uma queda e precisou de arranjar a bicicleta.

      As corridas dos ciclistas são traduzidas pelo gráficos apresentados, considerando-se as velocidades constantes.

a)   Transcreve e completa as tabelas seguintes:

 

Ciclista A
Tempo decorrido (em horas) x	1	2	3	4
Espaço percorrido (em km) y	25	50	75	100

 

 

Ciclista B
Tempo decorrido (em horas) x	1	2	3	4
Espaço percorrido (em km) y	30	60	60	100

 

 

b)   Qual dos ciclistas chegou primeiro? Justifica.

      Os ciclistas chegaram ao mesmo tempo, pois percorreram os 100 quilómetros de prova no mesmo tempo (4 h).

c)   Alguma das tabelas representa uma proporcionalidade directa?
Se a resposta for afirmativa, qual é a constante de proporcionalidade?

      Apenas a tabela relativa ao ciclista A representa uma proporcionalidade directa, pois nesta é constante o quociente entre os valores correspondentes das duas grandezas: .
A constante de proporcionalidade é 25.

d)   Depois da queda, o ciclista aumentou ou diminuiu a velocidade que levava? Justifica.

Por observação do gráfico, verificamos que, para o mesmo intervalo de tempo, o ciclista B depois da queda (entre a 3.ª e 4.ª horas de prova) percorre maior distância do que antes da queda (até à 2.ª hora de prova). Logo, depois da queda, o ciclista B aumentou a velocidade.

Alternativa:
Considerando constante a velocidade, determinemos as velocidades antes e depois da queda:

Antes da queda: . Depois da queda: .

 

FIM