Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho de Matemática

1.   Na figura, [ABCD] é um rectângulo.
Os dois arcos são semicircunferências tangentes entre si.

      Determina a área da superfície não sombreada.

      Os semicírculos têm raio 5 cm.
.
.
.
Logo, a área da superfície não sombreada é .

2.   Dois amigos, depois de terem falado ao telefone, decidiram encontrar-se à porta do cinema.

      Qual chegou primeiro, sabendo que o que mora na casa A passa primeiro pela pastelaria enquanto o outro vai directamente para o cinema?

Nota: Considera que os dois amigos se deslocam à mesma velocidade.

      Admitindo que os triângulos são rectângulos, comecemos por determinar a distância da Pastelaria ao Cinema:



Determinemos agora a distância da Casa B ao Cinema:



Logo,  e .
Portanto, chegou primeiro o amigo que mora na casa B.

3.   Observa o diagrama referente à função .

a)   Determina os valores das letras a, b, c e d.

      Ora,
 e .

Por outro lado:
 e .

b)   Indica o domínio e o contradomínio de .

       e .

4.   O Martim prendeu, com uma trela, o seu cão a um poste, próximo do supermercado do parque de campismo. O cão ficou encostado ao poste mas, ao ver o dono desaparecer, tentou libertar-se. Afastou-se rapidamente do poste, até a trela ficar completamente esticada. Depois, correu à volta do poste, com a trela completamente esticada (a trela rodou em torno do poste, nunca se enrolando neste). Já cansado, aproximou-se lentamente do poste, até ficar encostado a este, à espera do Martim.

      Seja d a distância entre o cão e o poste e seja t o tempo que decorre desde que o Martim prendeu o cão ao poste. Qual dos três gráficos seguintes poderá representar a situação descrita? Explica a razão que te leva a rejeitar cada um dos outros dois gráficos.

 

      É de rejeitar o gráfico B, pois o cão, quando correu à volta do poste, permaneceu sempre à mesma distância deste. Como o cão se afastou rapidamente do poste e, já cansado, aproximou-se lentamente deste, é também de rejeitar o gráfico C.
Por conseguinte, o gráfico que poderá representar a situação descrita é o gráfico A.

5.   O pai da Catarina utiliza o carro todos os dias para ir trabalhar.

a)   Observa a tabela e, supondo que o consumo do automóvel é directamente proporcional à distância percorrida, completa-a.

 

 

b)   Sabendo que o custo do gasóleo é 1,32 euros por litro e o pai da Catarina, por semana, faz em média 500 km, determina quantos euros gasta em combustível por semana.

      Calculemos o consumo do automóvel para percorrer 500 km:  (l).
Logo, o pai da Catarina gasta, em média, por semana,  euros em combustível.

c)   Escreve uma expressão analítica da função, escrevendo c em função de d.

      A função pode ser caracterizada por: , ou .

6.   O diagrama mostra uma sequência feita com triângulos. Cada triângulo é construído com fósforos.

a)   Completa a tabela:

b)   Escreve uma fórmula que permita calcular o número de fósforos utilizados para construir n triângulos.

      O número de fósforos (F) utilizados para construir n triângulos é dado pela fórmula: .

c)   Quantos triângulos se podem fazer com 749 fósforos?

      Como , podem-se construir 374 triângulos com 749 fósforos.

d)   Se tivéssemos 80 fósforos e os utilizássemos para fazer triângulos, sobrar-nos-ia algum?
Justifica com os cálculos necessários.

      Como , então 39 é o número máximo de triângulos que é possível construir com 80 fósforos. Assim, sobraria um fósforo: .

7.   O clube do João utiliza a pista do Estádio Municipal de 5 em 5 dias e o clube do Paulo utiliza a mesma pista de 10 em 10 dias. No dia 20 de Janeiro, os atletas dos dois clubes encontraram-se, no estádio, e treinaram juntos.

      Voltaram a encontrar-se durante o mês de Janeiro? Em caso afirmativo, em que dia?

      Como o , os atletas dos dois clubes voltaram a encontrar-se decorridos 10 dias, ou seja, no dia 30 de Janeiro.

8.   Sabendo que  e que , determina o valor de a.

      Sabendo que , temos: .

9.   Qual é o máximo divisor comum entre 12 e 24?

[A]                                    [B]                                    [C]                                 [D]     

      Resposta A: .

10. Tenho 168 bolas de ténis e 126 bolas de golfe.
Quero separá-las em caixas, cada caixa com o mesmo número de bolas de cada tipo.

      Qual é o maior número de caixas que posso usar? Qual a composição de cada uma das caixas?

     

Logo,  e . Portanto, .
Assim, o maior número de caixas que posso usar é 42.

Cada uma das caixas tem a seguinte composição:
 bolas de ténis e  bolas de golfe.

11. Simplifica, usando, sempre que possível, as regras de operações com potências e apresenta o resultado sob a forma de uma única potência de expoente positivo.

a)  
 

b)  
 

c)  
 

12. Calcula apresentando o resultado em notação científica.

a)  
 

b)  
 

c)  
 

13. Há cerca de 60 milhões de células na retina do olho humano.
Em média, uma célula do corpo humano tem de massa 0,000 000 000 8 gramas.

      Qual é, aproximadamente, a massa das células que existem na retina do olho humano?

      Ora,  e .
Logo, o valor pedido é .

14. A mais pequena das aves é o colibri, Calypte Helenae, que vive em Cuba, o qual da ponta do bico à ponta da cauda mede 65 milésimas do metro e pesa 2 milésimas do quilograma.

a)   Escreve em notação científica os números referidos no texto.

      Ora,  e .

b)   Se a massa de um parasita for de  e um colibri comer por dia a quarta parte da sua massa, quantos parasitas come por dia?

      Ora, .
Um colibri come por dia 100.000 parasitas (!!!).

15. Observa o triângulo ao lado.

      Um triângulo semelhante ao anterior é:

[A]          [B]          [C]          [D]   

      A resposta correcta é A.
Note que o triângulo da resposta A possui um ângulo interno com 100º de amplitude ( ) e os lados adjacentes a esse ângulo têm comprimentos directamente proporcionais aos assinalados na figura dada (  e ) (LAL).

Os triângulos das respostas B e C não possuem qualquer ângulo com 100º de amplitude.

Relativamente ao triângulo da resposta D, ainda que tenha um ângulo de amplitude 100º, o comprimentos dos lados adjacentes a esse ângulo não são directamente proporcionais aos assinalados na figura dada (  e ).

16. Observa o triângulo e os dados indicados na figura ao lado.

Os segmentos de recta [BC] e [DE] são paralelos.

a)   Justifica que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes.

      Pelo facto de [BC] e [DE] serem paralelos, os ângulos ADE e ABC, quer os ângulos AED e ACB, são geometricamente iguais, pois são ângulos de lados paralelos e da mesma espécie. Logo, os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes, pois possuem dois ângulos geometricamente iguais, cada um a cada um, de um para o outro dos triângulos.

b)       Determina .

Como os triângulos são semelhantes, os lados correspondentes têm comprimentos directamente proporcionais, isto é, .
Considerando a igualdade entre as duas primeiras razões, vem: .
Portanto, .

 

 

FIM