Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

1.   Assinala a alternativa correcta
Para cada uma das questões seguintes, assinala a alternativa correcta (não apresentes cálculos ou justificações).

a)   A mediana de um triângulo divide-o:

[A]    em dois triângulos equivalentes;  

[B]    em dois triângulos iguais;

[C]    em dois triângulos com iguais perímetros.

[D]    Nenhuma das respostas anteriores é correcta.

b)   Considera a função f definida pelo gráfico acima.
Qual das afirmações é verdadeira?

[A]                         [B]                                [C]                 [D]     

c)   A recta s, representada no referencial cartesiano ao lado, pode ser definida por:

[A]                                                        [B]     

[C]                                                   [D]     

d)   Considera o triângulo rectângulo da figura.
Qual das seguintes igualdades é falsa?

[A]                                   [B]     

[C]                             [D]     

 

 

2.   Na figura ao lado sabe-se que:

·       [ABCD] é um quadrado com de lado;

·       E é o ponto médio do segmento de recta [AD];

·       .

a)   Determina o perímetro do triângulo [AEF].

      Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [ABF], temos:
                
Como o triângulo [AEF] é isósceles, vem:
.

b)   Determina a área da região sombreada.

       

3.   Observa a figura ao lado.

      Sabe-se que:

·       O triângulo [ABC] é rectângulo, em C;

·       [CH] é perpendicular a [AB];

·       ;

·       .

a)   Justifica que os triângulos [ACH] e [ABC] são semelhantes.

      O ângulo BAC é comum aos dois triângulos.
Por outro lado, ambos os triângulos são rectângulos.
Logo, os triângulos são semelhantes, pois possuem, de um para o outro, dois ângulos iguais, cada um a cada um.

b)   Determina .

      Como os triângulos são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são directamente proporcionais, isto é, .
Usando as duas primeiras razões, temos: .
Portanto, .

c)   Calcula o volume do cone de revolução no qual [AC] é um raio da base e [BC] é a sua altura.

      Comecemos por determinar a altura do cone, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [ABC]:
                
Logo, .

4.   Uma empresa oferece o serviço de limpeza de alcatifas em casa do cliente mediante o precário ao lado.

Limpeza de alcatifas PREÇO: 15  / hora + 5  de deslocação

a)   Preenche a tabela seguinte:

 

b)   A função ( ) é de proporcionalidade directa? Justifica.

      A função não é de proporcionalidade directa, pois não é constante a razão entre os valores correspondentes das variáveis dependente e independente: .

c)   Escreve uma expressão analítica da função, escrevendo c em função de t.

      A função pode ser definida analiticamente pela expressão: .

d)   A mãe da Miquelina pagou  pelo serviço de limpeza das alcatifas da sua moradia.
Quanto tempo demorou a limpeza das alcatifas, em horas e minutos?

      Substituindo c por  na expressão anterior, obtemos: .
Resolvendo esta equação, vem: .
Ora, .
Logo, a limpeza das alcatifas demorou .

5.   O Rui saiu de casa às 8:00 horas e dirigiu-se a pé para a escola que fica a 2 km.
Ficou na escola até às 12:30 horas e depois regressou a casa, onde almoçou.
Qual dos gráficos se adapta melhor à história?

 

[A]    Gráfico A                        [B]    Gráfico B                        [C]    Gráfico C                       [D]    Qualquer um deles.

      O gráfico que se adapta melhor à história é o Gráfico C.

6.   Considera as funções  e  definidas por  e .

a)   Determina  tal que .

      Ora,
                
Logo,  é o valor de  x para o qual as imagens por f e por g são iguais.

 

 

 

 

 

b)   Indica as coordenadas do ponto de intersecção dos gráficos de  e .

      Como  (e ), o ponto de intersecção dos gráficos de f e g tem as coordenadas .

 

 

 

 

c)   Completa as tabelas, representa graficamente as funções no referencial cartesiano e verifica a resposta da alínea anterior.

                            

 

 

FIM