Simplifique as fracções
Funções racionais: Infinito 11 A - Parte 2 Pág. 187 Ex. 19
Sempre que for possível, simplifique as fracções e indique o domínio da função.
Aprecie a correcção dos resultados recorrendo à calculadora gráfica.
- $f(x)=\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}$;
- $f(x)=\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}$;
- $f(x)=\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}$;
- $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}$;
- $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}$.
- ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-4x\ne 0 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:x({{x}^{2}}-4)\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$.
\[\frac{2{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+8x}{{{x}^{3}}-4x}=\frac{2x({{x}^{2}}-4x+4)}{x({{x}^{2}}-4)}=\frac{2x{{(x-2)}^{2}}}{x(x+2)(x-2)}=\frac{2(x-2)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}\]
Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,0,2 \right\}$. - ${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:-{{x}^{2}}-x+2\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,1 \right\}$.
\[\frac{3{{x}^{2}}+5x-8}{-{{x}^{2}}-x+2}=\frac{(x-1)(3x+8)}{-(x+2)(x-1)}=\frac{3x+8}{-x-2}\]
Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2,1 \right\}$.Cálculos auxiliares:
\[-{{x}^{2}}-x+2=0\Leftrightarrow x=\frac{1\mp \sqrt{1+8}}{-2}\Leftrightarrow x=-2\vee x=1\]
$\begin{matrix}
{} & 3 & 5 & -8 \\
1 & {} & 3 & 8 \\
{} & 3 & 8 & 0 \\
\end{matrix}$
(Regra de Ruffini) -
${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:4x-3\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{4} \right\}$.
\[\frac{4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x-3}{4x-3}=\frac{(4x-3)({{x}^{2}}+1)}{4x-3}={{x}^{2}}+1\]
Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{4} \right\}$. -
${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2 \right\}=\left\{ x\in \mathbb{R}:(x-1)(x-2)(x+1) \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1,2 \right\}$.
\[\frac{{{x}^{2}}+x-6}{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2}=\frac{(x+3)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x+1)}=\frac{x+3}{{{x}^{2}}-1}\]
Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ -1,1,2 \right\}$.Cálculos auxiliares:
\[{{x}^{2}}+x-6=0\Leftrightarrow x=\frac{-1\mp \sqrt{1+24}}{2}\Leftrightarrow x=-3\vee x=2\]
$\begin{matrix}
{} & 1 & -2 & -1 & 2 \\
1 & {} & 1 & -1 & -2 \\
{} & 1 & -1 & -2 & 0 \\
2 & {} & 2 & 2 & {} \\
{} & 1 & 1 & 0 & {} \\
\end{matrix}$
(Regra de Ruffini) -
${{D}_{f}}=\left\{ x\in \mathbb{R}:{{x}^{3}}-8\ne 0 \right\}=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
\[\frac{{{x}^{2}}+2x-8}{{{x}^{3}}-8}=\frac{(x+4)(x-2)}{(x-2)({{x}^{2}}+2x+4)}=\frac{x+4}{{{x}^{2}}+2x+4}\]
Simplificação válida em $\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.Cálculos auxiliares:
\[{{x}^{2}}+2x-8=0\Leftrightarrow x=\frac{-2\mp \sqrt{4+32}}{2}\Leftrightarrow x=-4\vee x=2\]
$\begin{matrix}
{} & 1 & 0 & 0 & -8 \\
2 & {} & 2 & 4 & 8 \\
{} & 1 & 2 & 4 & 0 \\
\end{matrix}$
(Regra de Ruffini)