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Elementos
I.1
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| Problema: |
| Sobre um segmento de recta [AB], construir um
triângulo equilátero [ABC]. |
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| Construção: |
| Consideremos
um qualquer segmento de recta [AB] (Post.1). |
| Construamos
a circunferência de centro em A e que passa em B (Post.3);
construamos ainda a circunferência de centro em B e que passa em
A (Post.3). |
| Tracemos
agora os segmentos de recta [CA] e [CB], desde o ponto C (onde
as circunferências se intersectam) até aos pontos A e B,
respectivamente (Post.1). |
| O
triângulo [ABC] assim encontrado é a solução do problema. |
Ficheiro
do Cinderella
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| Prova: |
| Como
A é o centro da circunferência primeiro construída, então [AB]
e [AC] são iguais (Def.15).
De igual modo, considerando a circunferência de centro em B, serão
também iguais [AB] e [BC] (Def.15). |
| Sendo
[AC] igual a [AB] e [BC] igual a [AB], então [AC] é também
igual a [BC] (NC1).
Logo, os três segmentos, [AB], [BC] e [AC], são iguais entre si
e, consequentemente, o triângulo [ABC], construído sobre [AB],
é equilátero (Def.20). |
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Elementos
I.2
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| Problema: |
| Dado um ponto A e um segmento de recta [BC],
construir um ponto F tal que o segmento [AF] é congruente com [BC]. |
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| Construção: |
| Tracemos
do segmento [AB] (Post.1)
e sobre este segmento construamos o triângulo equilátero [ADB] (I.1). |
| Prolonguemos
os segmentos [DA] e [DB] nas semi-rectas DA' e DB',
respectivamente (Post.2). |
| Com
centro em B e passando por C construamos a circunferência c1 (Post.3)
e designemos por E a sua intersecção com a semi-recta DB'. |
| Com
centro em D e passando por E construamos a circunferência c2 (Post.3)
e designemos por F a sua intersecção com a semi-recta DA'. |
| O
ponto F assim encontrado é a solução do nosso problema. |
Ficheiro
do Cinderella
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| Prova: |
| Dado
que o ponto B é o centro da circunferência c1, então os
segmentos [BC] e [BE] são iguais (Def.15).
Também, como o ponto D é o centro da circunferência c2, então
os segmentos [DE] e [DF] são iguais.(Def.15). |
| E
nestes últimos segmentos ([DF] e [DE]), [DA] e [DB] são iguais,
logo o resto [AF] iguala o resto [BE] (NC3). |
| Mas
foi provado que os segmentos [BC] e [BE] são iguais, logo cada um
dos segmentos [AF] e [BC] iguala o segmento [BE]. E como coisas
iguais a uma terceira são iguais entre si, então o segmento [AF]
é igual ao segmento [BC] (NC1). |
| Portanto,
o segmento [AF] iguala o segmento [BC] dado, tendo sido colocado
com a extremidade no ponto dado A. |
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Elementos
I.3
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| Problema: |
| Dada uma semi-recta AB e um segmento de recta [CD],
construir um ponto E na semi-recta AB de modo que os segmentos [AE]
e [CD] sejam congruentes. |
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| Construção: |
| Construamos
o segmento [AF'], colocado em A e congruente com [CD] (I.2). |
| Construamos
a circunferência c3, com centro em A e raio [AF'] (Post.3). |
| O
ponto E, intersecção de c3 com o segmento [AB], é o ponto
desejado. |
Ficheiro
do Cinderella
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| Prova: |
| Como
o ponto A é o centro da circunferência c3, então são iguais os
segmentos [AE] e [AF'] (Def15). |
| Mas
os segmentos [CD] e [AF'] são iguais, logo são iguais os três
segmentos e, portanto, [AE] é igual a [CD] (NC1). |
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