Acção de Formação a Distância PROF2000
AF-18 - 2003

If Euclid did not invent his geometry, but just recorded knowledge that had been around for centuries before him, what did he do that was so important that his text was preserved and used for thousands of years?

Euclidean geometry was history's first example of a system of knowledge. Egyptian and Babylonian geometry texts are little more than lists of facts and formulas. But Euclid had not just put together a set of facts, he had assembled those facts into a structure. All the terms were defined, all the assumptions listed, and all the other statements were derived rigorously from those assumptions. By comparison all other fields of human thought were little more than grab-bags of ideas and tricks.

The assumptions – which are called postulates – are examples of what became known as self-evident truth. In other words, once these propositions were understood, they could not be denied. For a truth to be self-evident meant that even imagining its contradiction involved the mind in absurdities. Euclid's postulates include statements like “Any two points can be connected by a line” and “Any circle divides the plane into an inside and an outside.” These statements seemed to be fundamentally different from a truth of experience, like “Snow is white." You can easily imagine green snow or purple snow, even if you have never seen it. But how could a circle not divide a plane into inside and outside?

Euclid also did something more subtle, something that changed the course of human thought for all time. Prior to Euclid, arguments were private affairs. If I wanted to use reason to convince you of something, I would begin with premises that you would accept, and progress logically from there. The particular premises that you would grant might be very different from those of another person, and the argument that would result from our conversation would be unique to us. (Plato's dialogues are examples of such arguments. Changing any one of the characters would change the argument.) But Euclid's assumptions are not intended to be granted by you or me or any other particular person; they are intended to be universally acceptable. Likewise, the steps of Euclid's proofs are not intended to convince any particular person; they are intended to be beyond anyone's reproach. Euclid's structure establishes geometry as a public truth, not a private conviction.

Another way to say the same thing is that with Euclid, reason becomes coercive. If your assumptions are unquestionable, and your logic is rigorous, then all reasonable people are forced to agree with your conclusions, even if they would rather not.

http://www.gurus.com/dougdeb/Essays/Geometry/Euclid.html
What Euclid Did
a section of The Unreasonable Influence of Geometry by Doug Muder

Euclides e os Elementos são inseparáveis. Os 13 livros que constituem essa obra monumental contêm uma grande parte dos assuntos de matemática elementar que os gregos anteriores a Euclides e o próprio Euclides e outros matemáticos seus contemporâneos (Eudóxio de Cnido, por exemplo) elaboraram, mas expostas de uma forma seleccionada de acordo com um critério prefixado que converteu esses conjuntos de conhecimentos em sistemas coerentes e consistentes que persistiram durante mais de 23 séculos!; o método euclidiano (hoje, naturalmente aperfeiçoado, designa-se por método axiomático) consistiu em anunciar previamente as definições dos seres e as hipóteses básicas acerca deles (postulados ou axiomas) sobre as quais se construirá a geometria, a aritmética, etc., e depois construir estas ciências em forma rigorosamente dedutiva; tal método serviu de modelo a um tipo de construção científica que usado desde então na matemática se estendeu e se estende ainda hoje a outros sectores científicos. Que Euclides tenha conseguido sistematizar tão perfeitamente os conhecimentos do seu tempo, que tenha realizado na geometria, sobretudo, uma construção lógica impecável, que o seu método de raciocínio se tenha revelado impossível de ser ultrapassado, eis o que mostra que este grande sábio era excelente a expor ciência e que deve ter sido um professor inigualável.

Euclides é, provavelmente, o autor científico melhor sucedido de todos os tempos.

Talvez nenhum outro livro, além da Bíblia, se possa gabar de tantas edições em diversas línguas e certamente nenhuma outra obra matemática teve tanta influência como a exercida pelos Elementos: durante mais de dois mil anos, eles serviram como modelo de raciocínio lógico para todo o mundo, e pode afirmar-se que, durante todo esse tempo, todos os estudantes que aprenderam geometria, aprenderam-na de Euclides.

Galeria de Matemáticos do Jornal de Mathematica Elementar, 1991, pág. 20-21

Uma visão brilhante e fundamentada do desenvolvimento da matemática [...] Magnífico. Consegue comunicar ao leitor comum a beleza e o fascínio pelo tema.
New York Times

Uma verdadeira jóia. Uma obra-prima do nosso tempo.
Americam Mathematical Monthly

O riquíssimo e diversificado mundo da matemática é apresentado neste livro: a sua história e filosofia, a sua estética e pedagogia - mesmo as personalidades dos matemáticos são apresentadas em belíssimos sketches biográficos pontuados por acessíveis e sólidas discussões das obras [...]. Um livro verdadeiramente maravilhoso.
The New Yorker

De repente, somos transportados para outro mundo - um mundo novo e diferente, mas ao mesmo tempo estranhamente familiar. Matemáticos ilustres, problemas famosos e problemas curiosos; as ideias, a história, a descoberta, a filosofia: a Experiência Matemática inspira-nos o entusiasmo de pensar, de respirar, de viver a matemática. Não é um livro de divulgação: é uma obra de arte única.
DOUTOR JORGE BUESCU, Instituto Superior Técnico, revisor científico de A Experiência Matemática

PHIPLIP J. DAVIS é professor de Matemática Aplicada na Brown University.

REUBEN HERSCH é professor de Matemática na Univesidade de New Mexico em Albuquerque.

Deve referir-se que a Álgebra, domínio em que se deram estes avanços, estava, na época [séc. XV-XVI], completamente permeada pela linguagem e pelos métodos da Geometria. Era essa a tradição grega, nomeadamente dos Elementos de Euclides (séc. III a.C.), obra em que se encontram muitas proposições correspondentes a factos algébricos simples enunciadas em linguagem puramente geométrica. Este facto (relevante pela extraordinária influência do livro de Euclides ao longo dos tempos, até aos nossos dias) tem suscitado debates sobre as suas causas e significado. Sem entrar em tais controvérsias, pode dizer-se que para a génese dessa atitude são em geral apontadas as dificuldades dos gregos com as quantidades irracionais, que emergem da aplicação do Teorema de Pitágoras (séc. VI a.C.): naturais portanto do ponto de vista geométrico, os números irracionais terão levantado problemas filosóficos que adiaram por séculos o progresso da Álgebra.

http://www.mat.uc.pt/~jfqueiro/HistUniv.pdf [Pág. 1-2]

O anel náutico baseia-se numa propriedade geométrica que Euclides demonstra na proposição 20 do livro III dos seus Elementos e que Nunes [Pedro Nunes] expressamente refere dizendo que o ângulo «que está na circunferência do círculo contém um arco duplo do que tem vértice no centro». Em linguagem moderna, dir-se-á que o ângulo ao centro, isto é, com vértice no centro do astrolábio, é duplo do ângulo inscrito, isto é, com vértice no ponto C.

http://www.instituto-camoes.pt/cvc/ciencia/e29.html

A influência do Liber Calculationum, de Swineshead, é clara, mas a exposição de Álvaro Tomás é mais sistemática e mais bem organizada. A primeira impressão que o leitor retem é a da extensão dos conhecimentos de Álvaro Tomás. As suas fontes matemáticas vão dos mais antigos, Nicómaco ou Boécio, até à edição muito recente de Euclides por Bartholomeus Zambertus (Veneza, 1505). Está tão à vontade com os ingleses Swineshead, Bradwardine e Heytesbury, como com os parisienses, entre eles Oresme, e com os italianos (Paulo de Veneza, Jaime de Forli, etc.). O mestre português está na posição excepcional de conhecer as técnicas formais da abordagem de Merton, a tradição conceptual da escola parisiense e os contributos italianos

http://www.instituto-camoes.pt/cvc/ciencia/e44.html

Em certo sentido os Elementos de Euclides são a mais importante obra na história da matemática. Tornaram-se quase num símbolo do que significa o próprio raciocínio matemático, pois, embora se recolham muitos resultados conhecidos, a estruturação e o rigor lógico com que as matérias são apresentadas é inovadora. A sua importância transcendeu inclusivamente a matemática, a ponto de o desenvolvimento lógico de tipo euclidiano se ter tornado numa ambição de muitas outras disciplinas. O impacto desta obra foi tal que durante cerca de 2000 anos os Elementos de Euclides foram a obra fundamental em todos os estudos de matemática. [...] Os Elementos foram objecto de muitos comentários na Antiguidade, por Herão, Papo, Porfírio, Proclo e Simplício, entre outros, e a história da sua transmissão desde a Antiguidade até ao Renascimento é extremamente complexa dada a grande variedade de comentários, versões, traduções, acrescentos, etc. a que foi sujeito.
A obra que aqui se apresenta é um exemplar da primeira versão impressa dos Elementos de Euclides, a famosa edição com os comentários de Campano de Novara, impressa nas oficinas de Erhard Ratdolt. Entre os vários aspectos desta edição que valeria a pena assinalar, refira-se apenas que se trata do primeiro texto impresso, de grande extensão, a conter diagramas matemáticos, o que implicou a resolução de alguns delicados problemas de tipografia.

http://bnd.bn.pt/ed/pedro-nunes/obras/fontes-p-nunes/pn_fontes_outras_37.asp
[Fontes de Pedro Nunes]

Em 1505 Bartolomeo Zamberto (n. ca. 1473) publicou uma nova tradução latina dos Elementos, a partir do grego. Nessa edição Zamberto criticou duramente o texto latino de Campano que circulava em manuscrito e havia sido impresso alguns anos antes [ver o n.º 37]. Estas críticas lançaram uma acesa polémica pois logo de seguida não faltaram os que, como fez Luca Paccioli em 1509, saíram em defesa do texto de Campano, atribuindo as suas deficiências aos erros de copistas. Uma solução de compromisso parece ter sido adoptada com esta edição que aqui se refere, que inclui ambas as versões do texto, isto é, ex Campano e também ex Zamberto. A esta primeira edição em 1516 seguiram-se outras. O esforço de resolução dos complexos problemas filológicos associados à edição de um texto fundamental de matemática é um traço típico da ciência renascentista e do século xvi, e viria a culminar com a primeira edição do texto grego dos Elementos, em 1533, que se apresenta no n.º 39. Nos seus trabalhos Pedro Nunes mostra ter pleno conhecimento dos Elementos de Euclides, quer na tradição de Campano, quer com os comentários e correcções de Zamberto, e é quase certo que a sua biblioteca pessoal possuiria exemplares dos Elementos na edição de Ratdolt, de 1482 [n.º 37], e nesta de Paris, 1516.

http://bnd.bn.pt/ed/pedro-nunes/obras/fontes-p-nunes/pn_fontes_outras_38.asp
[Fontes de Pedro Nunes]

Esta é a célebre editio princeps do texto grego dos Elementos, pelo teólogo alemão Simão Grynaeus (fal. 1541). Não é ainda uma questão definitivamente resolvida a que se refere à competência de Pedro Nunes em grego, o que se prende sobretudo com a escassez de informações relativas aos seus anos de formação, e com o facto de as fontes gregas que usou nos seus trabalhos existirem em versões latinas na altura em que escreveu. No entanto, levando em consideração a época em que viveu e a amplidão das suas competências, é provável que dominasse também o grego. Seja como for, o que não oferece qualquer dúvida é que os Elementos de Euclides foram, a par com o Almagesto de Ptolomeu, as duas mais importantes obras usadas por Pedro Nunes e por ele abundantemente citadas.

http://bnd.bn.pt/ed/pedro-nunes/obras/fontes-p-nunes/pn_fontes_outras_39.asp
[Fontes de Pedro Nunes]

BN INC. 672 - Pert.: "Da Livr.ª de S. B.to de Xabregas". - Encadernação em pele, sobre pastas de cartão, com gravações a ouro na lombada

BN S.A. 708 A. - Nota manuscrita: "Orontius Fineus Delphinas hoc sibi comparavit exemplar. 1533"; Pert.: "Louys de Machault 1613"; "Jehan Chartier 1629". - Notas marginais manuscritas. - Encadernação em pele, sobre pastas de cartão, com ferros gravados a ouro na lombada com vestígios de acção de insectos

Durante 30 anos, a história da capital da Ática confunde-se com a de um homem: Péricles. Este aristocrata vai reforçar a democracia, enriquecer e embelezar a sua cidade. Mas os seus apetites imperialistas vão, também, precipitá-lo no mais aventuroso dos conflitos, contra Esparta, a eterna rival. Rebenta a guerra do Peloponeso, de que Atenas nunca recuperará. Péricles não assistirá ao declínio da sua cidade: morre em 429, e, em 404 a. C., os Espartanos entram vitoriosos no Pireu.
Tucídides, um dos mais ilustres historiadores da Antiguidade, escreve que a Atenas de Péricles era «a escola da Grécia». De facto, o homem de Estado sabe rodear-se de criadores cujas obras atravessarão os séculos: Fídias, o arquitecto do Pártenon; Sófocles, que dá à tragédia grega a sua forma clássica; Protágoras, o filósofo que ensina que o homem é a medida de todas as coisas» ...

No tempo da Grécia Antiga,
História do Mundo, Selecções do Reader's Digest, 1996, Pág. 131

O SÉCULO DE PÉRICLES

Como pôde Atenas influenciar tão duradouramente a história do Mundo? A que feliz destino atribuir ao facto de ela se ter tornado a nossos olhos a cidade grega por excelência? Mesmo que não seja possível responder a estas perguntas, é forçoso sublinhar até que ponto somos herdeiros da civilização que desabrochou no coração do século V a. C.
A inteligência, a independência, a piedade, a emoção, a indignação, a esperança, tais são os sentimentos que nos transmitiu, as sensibilidades que nos legou.
É certo que Atenas conheceu a sorte comum que, em meio século, a fez passar da glória ao declínio. É certo que uma grande parte dessa glória se baseava no trabalho de escravos, que, apesar de mais bem tratados do que noutros lugares, nem por isso deixavam de estar excluídos da comunidade dos cidadãos. É certo que a idade de ouro da Grécia não deve fazer-nos esquecer a violência das guerras civis e das confrontações entre ricos e pobres. Mas também é certo que ninguém hoje pode ser insensível às palavras de Péricles, que, fazendo o elogia dos guerreiros mortos durante o primeiro ano de combates entre Atenas e Esparta, proclamava: «Nós sabemos conciliar o gosto do belo com a simplicidade, e o gosto pelo estudo com a energia.»

No tempo da Grécia Antiga,
História do Mundo, Selecções do Reader's Digest, 1996, Pág. 129

A epopeia de Alexandre

Alexandre, o Grande Rei da Macedónia (356-323 a.C.)

Como pôde um reinado de 12 anos mudar a face do mundo?
É uma pergunta que já faziam aqueles que rodeavam Alexandre III da Macedónia, chamado Alexandre Magno, ou o Grande, impressionados por este jovem de 20 anos que, de 336 a 324 a.C., tinha percorrido mais de 18.000 km, travando quatro grandes batalhas, submetido o império persa de Dario, o Grande Rei, fundado numerosas cidades chamadas Alexandria, a mais longínqua das quais se encontra hoje no Tajiguistão, aberto o Oriente à civilização grega e criado um império que se estendia da actual Albânia até às fronteiras da Caxemira. E não a terá o próprio Alexandre feito a si mesmo, ele que determinou que se chamasse oficialmente «deus invicto», filho do deus do Egipto Amom-Ré, ou Dionísio encarnado, e que estava convencido de ser descendente de Aquiles, o rei da guerra de Tróia, e de Herácules, filho do próprio Zeus? Por muito que o historiador se esforce por desmontar os mitos, por medir escrupulosamente as partes que cabem ao mérito e à sorte, é impossível não se deixar fascinar pela extraordinária epopeia do maior conquistador da Antiguidade, um conquistador que dá razão a todos aqueles que pensam que os grandes homens desempenham um papel considerável na história.

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No tempo da Grécia Antiga,
História do Mundo, Selecções do Reader's Digest, 1996, Pág. 169-170

O Museu de Alexandria segundo Estrabão

O Museu (templo das Musas) foi fundado por Ptolomeu I, general de Alexandre, no princípio do século III a.C. Estrabão descreve assim o Museu no século I a.C.: "O Museu é também uma parte dos palácios reais; tem um passeio público, um Exedra (átrios) com assentos e uma casa grande, na qual se pode encontrar um lugar de reunião comum dos homens sábios que coabitam no Museu. Este grupo de homens não compartilha apenas bens em comum mas tem também um sacerdote encarregue do Museu, que originalmente era nomeado pelos reis".

Tradução livre a partir de Sarton, G. (1959).
Hellenistic science and culture in the last three centuries B.C (p. 30). Nova Iorque: Dover

A Cidade Plotomaica
(323 a.C. - 30 a.C.)

Depois da morte de Alexandre, nenhum sucessor emergiu para reivindicar seu reino. Por isso, os territórios foram divididos entre vários governadores. O Egipto era a parte do mais hábil destes: Ptolemeu. Era macedónio por nascimento, mas testemunhava o nascimento de Alexandria e queria-a para a capital cultural e intelectual do mundo. Governou em 323 a.C., reinou em 304 a.C., e expandiu o seu reino até  incluir Cyrene (Líbia), Palestina, Chipre, e outras terras. Os seus títulos reais incluíram o Rei Soter, e o Pharaoh. Sob o reino de Soter, a idade dourada de Alexandria, a capital novo de Egipto, começara. [E]

No Egipto do século III a. C., os eruditos de Alexandria podiam trabalhar sem preocupações materiais

O PRIMEIRO MUSEU

No tempo da Grécia Antiga,
História do Mundo, Selecções do Reader's Digest, 1996, Pág. 179

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/
java/elements/elements.html

I'm creating this version of Euclid's Elements for a couple of reasons. The main one is to rekindle an interest in the Elements, and the web is a great way to do that. Another reason is to show how Java applets can be used to illustrate geometry. That also helps to bring the Elements alive.

Post. 1

Post. 3

Axioma 1

PROPOSIÇÃO I. PROBLEMA.

Sobre uma linha recta determinada descrever um triangulo equilatero.

Seja a linha recta AB de um certo comprimento. Se deve sobre ella descrever um triangulo equilatero.

Com o centro A e com o intervallo AB se descreva ( Post. 3 ) o circulo BCD; e com o centro B e com o intervallo BA se descreva o circulo ACE. Do ponto C, onde os circulos se cortam reciprocamente, se tirem ( Post. 1 ) para os pontos A, B as rectas CA, CB. O triangulo ABC será equilatero. Sendo o ponto A o centro do circulo BCD, será AC=AB ( Definiç. 15 ). E sendo o ponto B o centro do circulo CAE, será BC=BA. Mas temos visto CA=AB. Logo tanto CA, como CB, é egual a AB. Mas as cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si ( Ax. 1 ). Logo será CA=CB. Logo as tres rectas CA, AB, BC são eguaes; e por consequencia o triangulo ABC, feito sobre a recta dada AB, é equilatero.

DEFINIÇÕES.

1. Ponto é o, que não tem partes, ou o, que não tem grandeza alguma.
2. Linha é o, que tem comprimento sem largura.
3. ...
4. ...
5. ...
6. ...
7. ...
8. ...
9. ...
10. ...
11. ...
12. ...
13. ...
14. ...
15. Circulo é uma figura plana, fechada por uma só linha, a qual se chama circumferencia: de maneira que todos as linhas rectas, que de um certo ponto existente no meio da figura, se conduzem para a circumferencia, são eguaes entre si.

POSTULADOS.

1. Pede-se como cousa possivel, que se tire de um ponto qualquer para outro qualquer ponto uma linha recta.
2. E que uma linha recta determinada se continue em direitura de si mesma, até onde seja necessario.
3. E que com qualquer centro e qualquer intervallo se descreva um circulo.

AXIOMAS.

1. As cousas, que são eguaes a uma terceira, são eguaes entre si.
2. Se a cousas eguaes se junctarem outras eguaes, os todos serão iguaes.
3. E, se de cousas eguaes se tirarem outras eguaes, os restos serão iguaes.
4. E, se a cousas deseguaes se ajunctarem outras eguaes, os todos serão deseguaes.
5. E, se de cousas deseguaes se tirarem cousas eguaes, os restos serão deseguaes.
6. As quantidades, das quaes cada uma por si faz o dobro de outra quantidade, são eguaes.
7. E aquellas, que são ametades de uma mesma quantidade, são tambem eguaes.
8. Duas quantidades, que se ajustam perfeitamente uma com outra, são eguaes.
9. O todo é maior do que qualquer das suas partes.
10. Duas linhas rectas não comprehendem espaço.
11. Todos os angulos rectos são eguaes.
12. E se uma linha recta, encontrando-se com outras duas rectas, fizer os angulos internos da mesma parte menores que dous rectos, estas duas rectas, produzidas ao infinito concorrerão para a mesma parte dos dictos angulos internos.

Por favor habilite Java para uma construção interativa (com Cinderella).

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Q.E.F.

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Depois de ter lido a demonstração e manipulado a construção, é a sua vez de criar a construção com régua não graduada e compasso.

Near the beginning of the proof, the point C is mentioned where the circles are supposed to intersect, but there is no justification for its existence. The only one of Euclid's postulate that says a point exists the parallel postulate, and that postulate is not relevant here. Thus, there is no assurance that the point C actually exists. Indeed, there are models of geometry in which the circles do not intersect. Thus, other postulates not mentioned by Euclid are required. In Book III, Euclid takes some care in analyzing the possible ways that circles can meet, but even with more care, there are missing postulates.

David E. Joyce, em: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI1.html

- Porque é [ABC] uma figura plana?
- Porque é que [ABC] contém um triângulo equilátero?

<josemiguel> Será que a figura desempenha aqui um papel importante, ou não?
<Susana_Rainho> a prova deverá ser independente da figura
<Moura> A figura é um exemplo que sustenta o problema?
<Carla_Lopes> a figura ajuda a entnder
<josemiguel> pois é Susuna, deveria. Mas com Euclides isso não acontece. Só mais tarde com Hilbert
<josemiguel> muitas vezes a prova precisa da figura
<Susana_Rainho> apercebi-me disso quando estive a fazer o trabalho 1
<Paulo__Dias_> Recordem-me: segmentos congruentes=com o mesmo comprimento?
<Amaral> Para ilustrar o raciocínio, apenas.
<josemiguel> isso mesmo, tb era para isso o trab 1
<Amaral> Geometricamente iguais (não orientados).
<Carla_Lopes> se não há imagem não há um caminho real
<josemiguel> não temos nada na axiomática de euclides, que nos garanta, por exemplo, que o ponto E seja a intersecção das duas circunferências
<Amaral> Sim, é verdade.
<RAUL> Acredito
<josemiguel> o mesmo se passava na construção no trab 1
<Carla_Lopes> sim
<Amaral> Exactamente.
<josemiguel> por isso, as figuras aqui eram importantes
<josemiguel> essa é uma das falhas apontadas à axiomática de euclides, mas não é isso que perde a sua importância

Extracto do log da sessão 3, em 8 de Outubro de 2003

Como acima foi referido, Euclides, no livro Elementos, tomou como base cinco axiomas e cinco postulados geométricos e tentou deduzir todas as suas quatrocentos e sessenta e cinco proposições dessas dez afirmações.

Quando consultamos os primeiros princípios considerados na versão portuguesa de 1855 (tradução de Angelo Brunelli) deparamo-nos com valores totalmente diferentes. O mesmo acontece quando consideramos a versão de Byrne.

O que se passa?

Comparando os enunciados (com alguma liberdade) dos postulados e dos axiomas nas três versões aqui usadas (versão portuguesa de 1855, de Byrne e de Joyce), podemos observar as conclusões registadas na tabela à direita.

Extracto do log da sessão 3, em 8 de Outubro de 2003

Elementos, o tratado clássico de geometria escrita por Euclides, é usado como um livro de texto há mais de 1.000 anos na Europa ocidental.

Uma versão árabe apareceu no fim do oitavo século, a primeira versão impressa foi produzida em 1482 por Erhard Ratdolt (em Latim, usando o texto supostamente traduzido do Árabe por Adelard of Bath no séc. XII, cuja fonte parece ter sido uma tradução Árabe de al-Hajjaj feita do Grego) e, desde então, os Elementos ultrapassaram mais de 2.000 edições.

As ligações seguintes são relativas a algumas dessas edições:

• http://www.envf.port.ac.uk/illustration/z/per/cmullen/032.HTM
  
  
• http://www.xtec.es/~jdomen28/edicionselements.htm
  
  
• http://special.lib.gla.ac.uk/exhibns/month/june2001.html

Estudo comparativo de postulados e axiomas

Fontes