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A ideia dada pelos livros sobre a filosofia da
matemática é estranhamente fragmentária. O leitor fica com a
impressão de que este assunto apareceu pela primeira vez no fim
do século XIX, em resposta a contradições da teoria de
conjuntos de Cantor. Nessa altura falou-se numa «crise de
fundamentos». Para estudar os fundamentos apareceram três
escolas, que passaram trinta ou quarenta anos em guerrilhas entre
si. No fim verificou-se que nenhuma delas podia fazer muito por
esses fundamentos, e a história termina a meio, há cerca de
quarenta anos, quando Whitehead e Russell abandonaram o logicismo,
o formalismo de Hilbert foi derrotado pelo teorema de Gödel e
Brouwer foi abandonado a pregar o construtivismo em Amsterdão,
desprezado pelo resto do mundo matemático.
Este episódio da história da matemática é, na
verdade, impressionante. É claro que foi um período crítico
para a filosofia da matemática. Mas, devido a uma mudança de
significado das palavras, o facto de o estudo dos fundamentos ter
sido, em certo período, a corrente dominante na filosofia matemática
levou a uma identificação virtual entre a filosofia da matemática
e o estudo dos fundamentos. Uma vez feita esta identificação,
ficamos com uma impressão peculiar: a filosofia da matemática
foi um campo activo por apenas quarenta anos. Foi despertado pelas
contradições da teoria de conjuntos e decorrido algum tempo
voltou a adormecer.
Na realidade houve sempre um pano de fundo filosófico,
mais ou menos explícito, para o pensamento matemático. O período
do estudo dos fundamentos foi uma altura em que matemáticos
importantes estiveram abertamente preocupados com questões filosóficas
e se dedicaram a controvérsias públicas sobre essas questões.
Para se compreender o que se passa nesse período temos de olhar
para a história anterior e posterior.
Existem duas linhas da história que têm de ser
seguidas. Uma está na filosofia da matemática; a outra
encontra-se na própria matemática. A crise foi a manifestação
de uma discrepância de longa data entre o ideal tradicional da
matemática, a que podemos chamar o mito de Euclides, e a
realidade da matemática, a prática real da actividade matemática
num determinado período. O bispo Berkeley reconheceu esta discrepância,
em 1734, no seu livro The Analyst. O
livro tinha um subtítulo comprido: A Discourse Addressed to an
Infidel Mathematician, Wherein it is Examined Whether the Object,
Principles and Inferences of the Modern Analysis are More
Distinctly Conceived, or More Evidently Deduced, than Religious
Mysteries and Points of Faith. «First cast out the beam of thine
own Eye; and then shalt thou see clearly to cast the mote out of
thy brother's Eye.» (O infiel era Edmund Halley.) (Um discurso dirigido a um matemático infiel, onde se examina se os
objectivos, princípios e inferências da análise moderna são
concebidos mais distintamente, ou deduzidos mais claramente, do
que os mistérios religiosos e as matérias da fé. «Primeiro
evita a luz que ofusca o teu olho; e então verás melhor para
retirares a partícula de pó do olho do teu irmão.)
Berkeley expôs os pontos obscuros e as incoerências
do cálculo diferencial tal como este era explicado no seu tempo
por Newton, Leibnitz e seus seguidores. Isto é, mostrou como o cálculo
estava distante da ideia de matemática segundo o mito de Euclides.
O que é o mito de Euclides? É a convicção de
que os livros de Euclides contêm verdades acerca do universo que
são claras e indubitáveis. Começando por verdades evidentes e
prosseguindo através de demonstrações rigorosas, Euclides chega
a conhecimento que é certo, objectivo e eterno. Até hoje parece
que a maioria das pessoas cultas acreditam no mito de Euclides. Até
meados ou fins do século XIX o mito não tinha discussão. Toda a
gente acreditava nele. Fora o principal apoio da filosofia metafísica,
isto é, da filosofia que procura estabelecer alguma certeza a
priori acerca da natureza do universo. As raízes da filosofia
matemática, tal como da própria matemática, estão na Grécia
clássica. Para os Gregos a matemática significava geometria e a
filosofia da matemática, para Platão e Aristóteles, era a
filosofia da geometria.
Para Platão, a missão da filosofia era
descobrir o conhecimento escondido atrás do véu da opinião, das
aparências, da mudança e da ilusão do mundo temporal. Nesta
tarefa a matemática ocupava um lugar central, pois o conhecimento
matemático era o exemplo perfeito do conhecimento independente
dos sentidos, conhecimento de verdades necessárias e eternas.
 No
livro Meno, de Platão, Sócrates questiona um jovem
escravo e leva-o a descobrir que a área do quadrado grande (v.
figura) é o dobro da área de ABCD, cuja diagonal tem o
comprimento do lado do quadrado grande. Como é que o jovem
escravo sabe isto? Sócrates afirma que o rapaz não o aprendeu
nesta vida mortal; por isso o seu conhecimento deve ser uma
recordação da vida antes do nascimento. Para Platão, este
exemplo mostra que existe conhecimento verdadeiro, conhecimento do
eterno. Platão argumenta que:
-
Conhecemos verdades da geometria que não
aprendemos nem através da educação nem da experiência;
-
Este conhecimento é um exemplo das verdades
imutáveis e universais que, realmente, aprendemos e
reconhecemos;
-
Assim, deve existir um reino da verdade
absoluta e eterna, a fonte e a base do nosso conhecimento do
bem.
A concepção que Platão tinha da geometria foi
um elemento-chave na sua concepção do mundo. A geometria
desempenhou um papel semelhante para os filósofos racionalistas:
Espinoza, Descartes e Leibnitz. Tal como Platão, os racionalistas
encaram a faculdade da razão como uma característica inata da
mente humana, com a qual as verdades podem ser apreendidas a
priori, independentemente da observação. Por exemplo, posso
estar enganado ao pensar que estou sentado à secretária a
escrever esta frase, assim como posso estar claramente errado ao
pensar que o Sol nascerá amanhã, mas de modo algum posso estar
enganado no meu conhecimento de que a soma interna dos ângulos de
um triângulo é igual a 180°. (O exemplo favorito de Espinoza de
uma afirmação indubitavelmente verdadeira era este teorema de
Euclides, que, a propósito, se demonstra ser falso na geometria não
euclidiana).
A razão era a característica que permitia ao
homem conhecer o bem e conhecer o divino. A existência desta
característica tinha a sua melhor prova na matemática. A matemática
partia de verdades evidentes e prosseguia através de raciocínios
cuidadosos para descobrir verdades escondidas. As verdades da
geometria tratavam das formas ideais, cuja existência era
evidente para a mente. Questionar a sua existência teria sido um
sinal de ignorância ou insanidade.
A matemática e a religião eram os melhores
exemplos de conhecimento obtido pela razão. O conhecimento do bem
em Platão foi transformado no conhecimento de Deus, no pensamento
dos racionalistas do Renascimento.
O serviço que o racionalismo prestou à ciência
foi ter negado a supremacia da autoridade, em particular da
autoridade religiosa, afirmando, no entanto, a veracidade da
religião. Esta filosofia deu espaço à ciência para crescer sem
ser estrangulada por rebeldia. Esta corrente de pensamento
reclamou para a razão - em particular para a ciência - o direito
à independência em relação à autoridade - em particular, à
autoridade da Igreja. Porém, esta independência da razão não
era muito perigosa para a autoridade, uma vez que os filósofos
declararam que a ciência nada mais era do que o estudo de Deus.
«Os céus proclamam a glória de Deus e o firmamento demonstra o
Seu trabalho.»
A existência de objectos matemáticos num reino
de ideias independente das mentes humanas não colocava
dificuldades a Newton ou Leibniz; como cristãos, eles sabiam que
existia uma mente divina. Neste contexto, a existência de
objectos ideais, tais como números ou formas geométricas, não
é problema. O problema é, pelo contrário, explicar a existência
de objectos materiais, não ideais. Depois de o racionalismo ter
conseguido substituir o escolasticismo medieval, foi desafiado
pelo materialismo e pelo empirismo: por Locke e Hobbes, na Grã-Bretanha,
e pelos enciclopedistas, em França. Na competição entre
racionalismo e empirismo foi o desenvolvimento das ciências
naturais com base no método experimental que deu ao empirismo a
vitória decisiva. A crença num universo material como realidade
fundamental tomou-se a sabedoria convencional da ciência, onde a
experiência e a observação eram os únicos meios legítimos de
obter o conhecimento.
Os empiristas defendiam que todo o conhecimento,
excepto o conhecimento matemático, provém da observação.
Normalmente não tentavam explicar como se obtém o conhecimento
matemático. Uma excepção foi John Stuart Mill. Ele propôs uma
teoria empirista do conhecimento matemático - onde a matemática
é uma ciência natural em nada diferente das outras. Por exemplo,
sabemos que 3 + 4 = 7 porque observamos que, ao juntarmos três
botões com quatro botões, obtemos sete botões. Frege, em Foundations
of Arithmetic, critica de modo acutilante a teoria simplista
de Mill, sendo apenas no contexto da crítica de Frege que a
filosofia matemática de Mill é hoje discutida.
Na controvérsia filosófica, primeiro entre o
racionalismo e o escolasticismo, e depois entre o racionalismo e
as novas correntes radicais do empirismo e do materialismo, a
santidade da geometria nunca foi desafiada. Os filósofos
discutiam se partimos da razão (que os homens possuem como uma dádiva
do divino) para descobrirmos as propriedades do mundo físico ou
se temos apenas os sentidos corporais para descobrirmos as
propriedades dos objectos físicos e do seu criador. Nestas lutas
ambos os lados tomavam como certo que o conhecimento geométrico não
é problemático, mesmo que todo o outro conhecimento o seja. Para
Hume apenas os livros de matemática e de ciências naturais eram
uma excepção à sua famosa instrução «lancem-nos às chamas».
Nem mesmo ele encontrou problemas na definição do estatuto do
conhecimento matemático.
Para os racionalistas, a matemática era o melhor
exemplo para confirmar a sua visão do mundo. Para os empiristas
era um contra-exemplo embaraçoso que tinha de ser ignorado ou, de
algum modo, explicado. Se, como parecia óbvio, a matemática contém
conhecimento independente dos sentidos da percepção, o empirismo
é inadequado para explicar todo o conhecimento humano. Esta
dificuldade subsiste ainda hoje; é uma razão para os nossos
problemas com a filosofia da matemática.
É possível que não tenhamos consciência de
que o modelo científico moderno só ganhou supremacia no último
século. No tempo de Russell e Whitehead apenas a lógica e a
matemática podiam ser ainda incluídas no conhecimento não empírico,
isto é, obtido directamente pela razão.
A matemática sempre teve um lugar especial na
luta entre o racionalismo e o empirismo. O matemático vulgar, com
a sua crença de senso comum na matemática como conhecimento, é
o último vestígio do racionalismo.
Do ponto de vista mais comum, hoje em dia, entre
os cientistas a prevalência do platonismo como uma filosofia de
trabalho tácito ou informal é uma anomalia digna de nota. Os
pressupostos aceites em ciência são, e têm sido desde há
muitos anos, os do materialismo, no que respeita à ontologia, e
os do empirismo, no que respeita à epistemologia. Isto é, o
mundo é todo «uma coisa», a que se chama «matéria» e que é
estudada pela física; se a matéria se organiza em configurações
suficientemente complicadas, torna-se objecto de ciências mais
específicas, com metodologias próprias, como a química, a
geologia e a biologia. Aprendemos coisas acerca do mundo
observando-o e pensando sobre o que vemos. Até realizarmos as
observações, não temos nada sobre que pensar.
No entanto, em matemática temos conhecimento de
coisas que nunca observámos e nunca poderemos observar. Pelo
menos é este o ponto de vista ingénuo que assumimos quando não
tentamos ser filosóficos.
No fim do século XVIII o culminar da filosofia
clássica foi devido a Kant, cujo trabalho tentou unificar as duas
tradições em conflito, o racionalismo e o empirismo. A metafísica
de Kant é a continuação do legado de Platão, da procura da
certeza e eternidade no conhecimento humano. Kant queria refutar a
crítica de Hume sobre a possibilidade de certeza no conhecimento
humano. Ele fez uma distinção radical entre o número, as coisas
em si, que nunca poderemos conhecer, e o fenómeno, as aparências,
que são tudo o que os nossos sentidos nos dizem. Mas, apesar de
todo o seu cepticismo, a principal preocupação de Kant era ainda
o conhecimento a priori - conhecimento que era eterno e
independente da experiência. Kant realizou a distinção entre
dois tipos de conhecimento a priori. O conhecimento «analítico
a priori», que é o que alcançamos através da análise lógica,
devido ao próprio significado dos termos que utilizamos. Por
outro lado, Kant, tal como os racionalistas, acreditava que possuímos
ainda um outro tipo de conhecimento a priori, que não é
uma simples verdade lógica. É o conhecimento «sintético a
priori». As nossas intuições de tempo e espaço são, de
acordo com Kant, exemplos deste tipo de conhecimento. Ele explica
a natureza a priori afirmando que aquelas intuições são
propriedades inerentes à mente humana. O nosso conhecimento de
tempo é sistematizado pela aritmética, que é baseada na intuição
de sucessão. O nosso conhecimento de espaço é
sistematizado pela geometria. Para Kant, tal como para Platão, só
existe uma geometria - aquela que hoje denominamos euclidiana,
para a distinguir de muitos outros sistemas de conceitos, aos
quais também chamamos geometrias. As verdades da geometria e da
aritmética são-nos impostas pelo modo como as nossas mentes
funcionam; isto explica por que elas são, supostamente,
verdadeiras para todos, independentemente da experiência. As
intuições de tempo e espaço, nas quais se baseiam a aritmética
e a geometria, são objectivas, uma vez que são universalmente
aceites por todas as mentes humanas. Não se afirma que elas
existam fora da mente humana; no entanto, o mito de Euclides
permanece como um elemento central da filosofia de Kant. |
