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No
que concerne à Geometria no programa de Matemática do 3.º ciclo,
sumariamente, podemos recordar:
- Programa
de Matemática do 3.º Ciclo
(Ensino Básico. 3º ciclo. Programa de Matemática. Plano de organização
do ensino-aprendizagem. Vol. II. Lisboa: Imprensa Nacional, 1991)
- Currículo
Nacional do Ensino Básico - MATEMÁTICA-Competências
Específicas
| Programa
de Matemática do 3.º Ciclo |
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7.º Ano
|
| G 7.1.
Semelhança de figuras |
- Ampliação e redução de figuras
- construção à escala
- Polígonos semelhantes
- razão de semelhança
- noção de forma
|
- Ampliar e reduzir uma figura, dada
a razão, relacionando os conceitos de semelhança e
proporcionalidade.
- Calcular distâncias reais a
partir da sua representação em plantas, mapas, etc., e
determinar alturas de árvores, edifícios, etc.
- Fazer construções usando
instrumentos de medição e desenho.
|
| G 7.2. Do
espaço ao plano: sólidos, triângulos e quadriláteros |
- Sólidos com faces triangulares e
quadrangulares
- Posições relativas
de rectas e planos
- Construção
de triângulos
- Desigualdade triangular
- Critérios de igualdade de triângulos
- Ângulos
verticalmente opostos
- Ângulos
de lados paralelos
- Soma dos ângulos internos de um triângulo
- Ângulo externo de um triângulo
- Propriedades dos paralelogramos
- Eixos de simetria em triângulos e
quadriláteros
- Áreas e volumes de sólidos
- Volume da pirâmide
- Volume do cone
|
- Identificar
em situações concretas, posições relativas de rectas e
planos (planos paralelos e rectas complanares, rectas paralelas
e rectas concorrentes com um plano, rectas contidas num plano).
- Construir
triângulos descobrindo critérios de igualdade, relações
entre os lados, relações entre os ângulos e entre lados e ângulos,
quer no mesmo triângulo, quer em triângulos diferentes.
- Construir quadriláteros a partir
de condições dadas, e usar as propriedades dos paralelogramos
na justificação de raciocínios.
- Sistematizar
conhecimentos básicos de Geometria e resolver problemas
geometricamente, analisando figuras, efectuando medições,
discutindo estratégias, justificando raciocínios e
interpretando resultados.
- Determinar áreas e volumes de sólidos
e de objectos da vida real, efectuando medições em situações
diversificadas, estimando uma margem de erro.
|
| 8.º
Ano |
| G 8.1.
Decomposição de figuras; Teorema de Pitágoras |
- Decomposição de polígonos em
triângulos e quadriláteros
- Decomposição de um
triângulo por uma mediana
- Decomposição de um triângulo rectângulo pela altura
referente à hipotenusa
- Equivalência de polígonos; área do trapézio
- Teorema de Pitágoras
- Demonstração por decomposição de um quadrado
- O Teorema de Pitágoras e o espaço
- Perpendicularidade entre recta e plano
- Perpendicularidade de planos
- Diagonal do paralelepípedo rectângulo
|
- Decompor
e compor figuras geométricas obtendo outras, relacionando-as
entre si.
- Resolver problemas no plano e no
espaço aplicando o teorema de Pitágoras.
- Identificar rectas perpendiculares
a planos e planos perpendiculares a planos em modelos concretos.
- Relacionar
entre si os triângulos obtidos na decomposição de um triângulo
rectângulo pela altura referente à hipotenusa, ou na decomposição
de um triângulo qualquer por uma das suas medianas.
- Relacionar
entre si elementos e propriedades de figuras geométricas, fazer
conjecturas e experiências. Justificar raciocínios.
|
| G 8.2.
Semelhança de triângulos |
- Critérios
de semelhança de triângulos
|
- Usar
a semelhança de triângulos na análise de figuras, na resolução
de problemas e justificação de raciocínios,
relacionando os elementos homólogos, as áreas e os perímetros.
- Construir figuras geométricas
utilizando instrumentos de medição e desenho, e descrever por
palavras suas os processos usados na construção.
|
| G 8.3. Lugares
geométricos |
- Problemas
envolvendo distância entre dois pontos
- Circunferência, círculo
- Superfície esférica, esfera
- Mediatriz de um
segmento de recta
- Circunferência
circunscrita
- Conjunção de condições e
intersecção de conjuntos
|
- Resolver,
através de construções, problemas envolvendo a noção de
distância entre os dois pontos descrevendo o processo
utilizado, justificando o raciocínio feito.
|
| G
8.4. Translações |
- Translações
- Imagem de uma figura numa translação dada
- Propriedades das translações
- Vector
- Composição de translações; adição de vectores
|
- Identificar translações na vida
quotidiana em papéis, tecidos ou frisos decorativos...
- Efectuar translações em papel
quadriculado ou associando a translação a um vector.
- Reconhecer propriedades das
translações a compor translações relacionando com a adição
de vectores.
- Fazer construções geométricas
com instrumentos de medição e desenho.
|
| 9.º
Ano |
| G 9.1.
Circunferência e polígonos. Rotações |
- Ângulos ao centro e arcos
correspondentes
- Ângulo
inscrito num arco de circunferência
- Consequências das simetrias da
circunferência
- Polígonos
inscritos; polígonos regulares
- Áreas de polígonos regulares
- Áreas e volumes de prismas e pirâmides
regulares, cilindros e cones
- Rotações
- Isometrias
|
- Relacionar
amplitudes de ângulos e arcos, e determinar amplitudes de ângulos
excêntricos.
- Estabelecer relações entre
arcos, cordas, tangentes e raios recorrendo às simetrias da
circunferência.
- Determinar
amplitudes de ângulos internos e externos de polígonos
convexos, e identificar rotações de polígonos
regulares em torno do seu centro.
- Identificar diferentes isometrias
comparando as suas propriedades.
|
| G 9.2.
Trigonometria do triângulo rectângulo |
- Razões trigonométricas de ângulos
agudos
- Seno
- Co-seno
- Tangente
- Relações entre as razões
trigonométricas
- Sen2 a + cos2 a = 1
- Tg a = sen a / cos a
- Tabelas de valores naturais e
calculadoras
|
- Determinar razões trigonométricas
de um dado ângulo agudo, por construção, utilizando tabelas
ou calculadoras, ou conhecida outra razão trigonométrica do
mesmo ângulo.
- Procurar estratégias adequadas
para determinar distâncias a locais inacessíveis, alturas de
edifícios ...
|
| G 9.3.
Espaço - outra visão |
- Sólidos geométricos
- Áreas e volumes
- Representação no plano de rectas
e planos do espaço
- Critérios de:
- Paralelismo de recta e plano
- Paralelismo de planos
- Perpendicularidade de recta e plano
- Perpendicularidade de planos
- Referência
à geometria como construção hipotético-dedutiva
- Axioma, teorema,
demonstração
|
- Resolver problemas referentes a áreas
e volumes de sólidos geométricos, incluindo esferas.
- Identifícar em modelos concretos
posições relativas de rectas e planos, e fazer esboços que
representem as diferentes situações possíveis.
- Relacionar procedimentos da vida
corrente com os critérios referentes à posição relativa de
rectas e planos.
- Distinguir
axioma de teorema num determinado contexto.
|
|
|
| MATEMÁTICA,
Competências Específicas |
|
|
Competência
Matemática ao longo da educação básica |
|
•
A predisposição
para raciocinar matematicamente, isto é, para explorar
situações problemáticas, procurar regularidades, fazer e
testar conjecturas, formular generalizações, pensar
de maneira lógica;
•
O gosto e a
confiança pessoal em realizar actividades intelectuais que envolvem
raciocínio matemático e a concepção de que a validade de uma
afirmação está relacionada com a consistência da argumentação
lógica, e não com alguma autoridade exterior;
•
A aptidão para
discutir com outros e comunicar descobertas e ideias matemáticas
através do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e
adequada à situação;
•
A compreensão das
noções de conjectura, teorema e demonstração, assim como das
consequências do uso de diferentes definições;
•
A predisposição
para procurar entender a estrutura de um problema e a aptidão para
desenvolver processos de resolução, assim como para analisar os
erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas;
•
A aptidão
para decidir sobre a razoabilidade de um resultado e de
usar, consoante os casos, o cálculo mental, os algoritmos de
papel e lápis ou os instrumentos
tecnológicos;
•
A tendência para
procurar ver e apreciar a estrutura abstracta que está presente
numa situação, seja ela relativa a problemas do dia-a-dia,
à natureza ou à arte, envolva ela elementos numéricos,
geométricos ou ambos;
•
A tendência para usar a matemática, em combinação com
outros saberes, na compreensão de situações da realidade, bem
como o sentido crítico
relativamente à utilização de procedimentos e resultados
matemáticos. |
|
GEOMETRIA
|
|
Ao
longo de todos os ciclos |
|
•
Aptidão para
realizar construções geométricas e para reconhecer e analisar
propriedades de figuras geométricas, nomeadamente recorrendo a
materiais manipuláveis e a software geométrico;
•
A aptidão para
utilizar a visualização e o raciocínio espacial na
análise de situações e na
resolução de problemas em geometria e em outras áreas da
matemática;
•
A compreensão dos
conceitos de comprimento e perímetro, área, volume e amplitude,
assim como e a aptidão para
utilizar conhecimentos sobre estes conceitos na resolução e
formulação de problemas;
•
A aptidão para efectuar medições e estimativas em
situações diversas, bem como a compreensão do sistema
internacional de unidades;
•
A predisposição para procurar e explorar padrões
geométricos e o gosto por
investigar propriedades e relações geométricas;
•
A aptidão para
formular argumentos válidos recorrendo à visualização e
ao raciocínio espacial, explicitando-os em linguagem corrente;
•
A sensibilidade para apreciar a geometria no mundo real e o
reconhecimento e a utilização
de ideias geométricas em diversas situações, nomeadamente na
comunicação. |
|
1.º ciclo
|
|
•
O reconhecimento de formas geométricas simples, bem como a
aptidão para descrever figuras geométricas e para completar e
inventar padrões;
•
A aptidão para realizar construções geométricas simples,
assim como para identificar propriedades de figuras geométricas;
•
A compreensão do processo de medição e a aptidão para
fazer medições e estimativas em situações diversas do quotidiano
utilizando instrumentos apropriados. |
|
2.º ciclo
|
|
•
A predisposição para identificar propriedades de figuras
geométricas, nomeadamente em triângulos, em quadriláteros e em
sólidos geométricos, bem como para justificar e comunicar os
raciocínios efectuados;
•
A aptidão para realizar construções geométricas,
nomeadamente ângulos e triângulos, e para descrever figuras
geométricas;
•
A aptidão para resolver e formular problemas que envolvam
relações entre os conceitos de perímetro e de área, em diversos
contextos;
•
A aptidão para calcular áreas de rectângulos, triângulos
e círculos, assim como volumes de paralelepípedos, recorrendo ou
não a fórmulas, em contexto de resolução de problemas. |
|
3.º ciclo
|
|
•
A aptidão para
visualizar e descrever propriedades e relações geométricas,
através da análise e comparação de figuras, para fazer
conjecturas e justificar os
seus raciocínios;
•
A aptidão para
realizar construções geométricas, nomeadamente
quadriláteros, outros polígonos e lugares
geométricos;
•
A compreensão do
conceito de forma de uma figura geométrica e o
reconhecimento das relações entre elementos de figuras
semelhantes;
•
A aptidão para
resolver problemas geométricos através de construções,
nomeadamente envolvendo lugares geométricos, igualdade e
semelhança de triângulos, assim como
para justificar os processos utilizados;
•
O reconhecimento do significado de fórmulas e a sua
utilização no cálculo de áreas e volumes de sólidos e de
objectos do mundo real, em situações diversificadas;
•
A predisposição para identificar transformações
geométricas e a sensibilidade para relacionar a geometria com a
arte e com a técnica;
•
A tendência para procurar invariantes em figuras
geométricas e para utilizar modelos geométricos na resolução de
problemas reais. |
|
|
Sem
pretensão de uma análise exaustiva e pormenorizada, penso que os destaques
a amarelo e a cor-de-laranja
(nesta secção) estão de alguma forma relacionados com as tarefas A e B,
propostas neste trabalho. Os destaques a amarelo estão mais directamente
ligados à tarefa A e os cor-de-laranja à tarefa B, ainda que nalguns casos
se possam sobrepor ou a sua fronteira seja muito vaga.
|
|
|
Programa
do 3º ciclo
Currículo
Nacional do Ensino Básico
Competências Específicas
MATEMÁTICA
| A Matemática
no currículo do ensino básico |
|
...
As orientações relativas ao desenvolvimento da competência
matemática ao longo dos três ciclos do ensino básico podem ser
organizadas de diversos modos. Correndo o risco de não explicitar
suficientemente a primazia a dar aos processos matemáticos em
relação aos tópicos específicos vistos isoladamente, assim
como às conexões que é forçoso estabelecer entre os vários
domínios, optou-se, no entanto, por desenvolver os aspectos da
competência matemática em quatro grandes domínios temáticos:
Números e Cálculo; Geometria; Estatística e Probabilidades;
Álgebra e Funções. Esta organização salienta que a
competência matemática inclui a compreensão de um conjunto de
noções matemáticas fundamentais e permite estabelecer uma
ligação mais fácil aos temas centrais dos
programas em vigor nos 2.º e 3.º ciclos, sendo ainda
compatível com os blocos temáticos do programa do 1.º ciclo.
No
entanto, a evolução dos programas num futuro próximo e, em
particular, a sua transformação em orientações curriculares
mais globais e menos prescritivas poderão criar condições
favoráveis a uma posterior reorganização das competências
específicas em torno dos processos matemáticos ou dos hábitos
de pensamento matemático fundamentais.
Por
outro lado, convém reafirmar que, a par da valorização de uma lógica
de ciclo (em contraponto com a prática de programas por ano
de escolaridade), a formulação de competências essenciais
procura contribuir para uma mais adequada articulação entre os
três ciclos do ensino básico. Isto significa que, embora
constituindo referências nacionais para o trabalho em cada ciclo,
as competências não
podem ser encaradas como aprendizagens acabadas, ligadas a
momentos bem determinados ou a oportunidades únicas. A
aprendizagem da Matemática deve ser vista como um processo
gradual e contínuo ao longo do ensino básico. |
|
Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências
Essenciais
Competências Específicas – Matemática,
pág. 58
|
|
Experiências
de aprendizagem |
|
Tipos
de experiências de aprendizagem |
| Resolução
de problemas |
|
A resolução de
problemas constitui, em matemática, um contexto universal de
aprendizagem e deve, por isso, estar sempre presente, associada ao
raciocínio e à comunicação e integrada naturalmente nas
diversas actividades. Os
problemas são situações não rotineiras que constituem desafios
para os alunos e em que, frequentemente, podem ser
utilizadas várias estratégias e métodos de resolução – e
não exercícios, geralmente de resolução mecânica e
repetitiva, em que apenas se aplica um algoritmo que conduz
directamente à solução. A
formulação de problemas deve igualmente integrar a experiência
matemática dos alunos. |
| Actividades
de investigação |
|
Numa actividade de
investigação, os alunos exploram uma situação aberta, procuram
regularidades, fazem e testam conjecturas, argumentam e comunicam
oralmente ou por escrito as suas conclusões. Qualquer
tema da matemática pode proporcionar ocasiões para a
realização de actividades de natureza investigativa. Este tipo
de actividades também é favorável à ligação da matemática
com outras áreas do currículo. |
| Realização
de projectos |
|
Um
projecto é uma actividade prolongada que normalmente inclui
trabalho dentro e fora da aula e é realizada em grupo.
Pressupõe a existência de um objectivo claro, aceite e
compreendido pelos alunos, e a apresentação de resultados.
Qualquer tema da matemática pode proporcionar ocasiões para a
realização de projectos. Pela sua própria natureza, os
projectos constituem contextos naturais para o desenvolvimento de
trabalho interdisciplinar. |
| Jogos |
|
O jogo é um tipo de
actividade que alia raciocínio, estratégia e reflexão com
desafio e competição de uma forma lúdica muito rica. Os jogos
de equipa podem ainda favorecer o trabalho cooperativo. A prática
de jogos, em particular dos jogos de estratégia, de observação
e de memorização, contribui de forma articulada para o
desenvolvimento de capacidades matemáticas e para o
desenvolvimento pessoal e social. Há jogos em todas as culturas e
a matemática desenvolveu muito conhecimento a partir deles. Além
disso, um jogo pode ser um ponto de partida para uma actividade de
investigação ou de um projecto. |
| Aspectos
da história, do desenvolvimento e da utilização da matemática |
| Reconhecimento
da matemática na tecnologia e nas técnicas |
|
A
matemática tem contribuído desde sempre para o desenvolvimento
de técnicas e de tecnologias, mesmo quando não são
necessários conhecimentos matemáticos para as utilizar. É
importante que os alunos realizem actividades que ajudem a revelar
a matemática subjacente às tecnologias criadas pelo Homem –
por exemplo, instrumentos de navegação ou de redução e
ampliação –, assim como a matemática presente em diversas
profissões. |
| Realização
de trabalhos sobre a matemática |
|
A
matemática e a sua história, os matemáticos e as suas
histórias, integrados ou não na história da ciência e no
desenvolvimento científico, são uma fonte de
conhecimentos favoráveis à aprendizagem. Um trabalho sobre a
matemática inclui a pesquisa e a organização de informação, a
escrita e a apresentação. Na pesquisa para um trabalho desta
natureza é relevante o recurso a fontes documentais e
museológicas de tipos diversos. Na apresentação há vários
tipos de suportes que podem ser utilizados, nomeadamente escritos,
dramatizações, vídeos e informáticos. |
|
Aspectos
transversais da aprendizagem da matemática |
| Comunicação
matemática |
|
A
comunicação inclui a leitura, a interpretação e a escrita de
pequenos textos de matemática, sobre a matemática ou em que haja
informação matemática. Na comunicação oral, são
importantes as experiências de argumentação e de discussão em
grande e pequeno grupo, assim como a compreensão de pequenas
exposições do professor. O
rigor da linguagem, assim como o formalismo, devem corresponder a
uma necessidade sentida e não a uma imposição arbitrária. |
| Prática
compreensiva de procedimentos |
|
A prática de
procedimentos não deve constituir uma actividade preparatória,
repetitiva, isolada e sem significado; porém, uma prática
compreensiva pode promover a aquisição de destrezas utilizáveis
com segurança e autonomia. O cálculo mental, o domínio de um
algoritmo, a utilização de uma fórmula, a resolução de uma
equação, uma construção geométrica, a manipulação de um
instrumento, entre muitos outros procedimentos, são destrezas
úteis que se adquirem com prática desde que não seja descurada
a sua compreensão e a sua integração em experiências
matemáticas significativas. |
| Exploração
de conexões |
|
Uma componente
essencial da formação matemática é a compreensão
de relações entre ideias matemáticas, tanto entre diferentes
temas de matemática como no interior de cada tema, e ainda de
relações entre ideias matemáticas e outras áreas de
aprendizagem (a música, as artes visuais, a natureza, a
tecnologia, etc.). Actividades que permitam evidenciar e
explorar estas conexões devem ser proporcionadas a todos os
alunos. Um aspecto importante será o tratamento e exploração
matemáticos de dados empíricos recolhidos no âmbito de outras
disciplinas, nomeadamente as da área das Ciências Físicas e
Naturais, a Geografia e a Educação Física. |
| Recursos |
| Utilização
das tecnologias na aprendizagem da Matemática |
|
Todos os alunos devem
aprender a utilizar não só a calculadora elementar mas também,
à medida que progridem na educação básica, os modelos
científicos e gráficos. Quanto ao computador, os alunos devem
ter oportunidade de trabalhar com a folha de cálculo e com
diversos programas
educativos, nomeadamente de gráficos de funções e de
geometria dinâmica, assim como de utilizar
as capacidades educativas da rede Internet. Entre os
contextos possíveis incluem-se a resolução de problemas, as
actividades de investigação e os projectos. |
| Utilização
de materiais manipuláveis |
|
Materiais
manipuláveis de diversos tipos são, ao longo de toda a
escolaridade, um recurso privilegiado como ponto de partida ou
suporte de muitas tarefas escolares, em particular das que visam
promover actividades de investigação e a comunicação
matemática entre os alunos. Naturalmente, o essencial é a
natureza da actividade intelectual dos alunos, constituindo a
utilização de materiais um meio e não um fim. |
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Currículo
Nacional do Ensino Básico – Competências
Essenciais
Competências Específicas – Matemática,
pág. 68-71 |
|
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|
|
Relativamente
à ficha de trabalho,
penso que poderá ser uma actividade a desenvolver já com alunos do 3.º
ciclo. No entanto, para uma maior amplitude na sua exploração dava a primazia
a uma turma do 9.º anos, após o estudo da circunferência, pois na alínea
c) está manifesto um conteúdo deste tema.
Alteraria
a alínea a).
Enunciaria o 5.º Postulado de Euclides, após uma breve introdução à sua
vida e obra (se nessa turma houvesse ainda essa necessidade) e solicitava
aos alunos uma exploração geométrica (construção geométrica) do
enunciado, tanto em construção estática como dinâmica. Terminaria
esta alínea, pedindo uma tentativa de redacção mais vulgar deste
postulado (postulado de Playfair).
Na
alínea b), face à alteração proposta no parágrafo anterior, frisaria
que era para mostrar a igualdade usando o enunciado do postulado na forma de
Euclides.
Na minha opinião, é esta a questão mais rica e mais difícil da ficha, pois
a sua formulação leva a um tipo de raciocínio pouco habitual nos dias de
hoje.
Relativamente
à primeira parte da alínea c), talvez fossem de considerar algumas
sugestões (pistas) no sentido de orientar os alunos na descoberta
indispensável (caso alguns sentissem essa necessidade), por exemplo:
"Qual é a amplitude do ângulo DAE?"; "O que é um ângulo
inscrito?"; "Que arco compreende entre os seus lados um ângulo
inscrito?".
Quanto à segunda parte desta questão, ficaria para exploração fora da
aula através de alguma referência bibliográfica ou de ligações a
páginas da Internet fornecidas pelo professor.
Talvez fosse pertinente fazer aqui algumas considerações (indicando alguns
exemplos) sobre teorema, hipótese, tese, axioma e postulado, que serviriam
também para a alínea seguinte.
Penso
que nas alíneas d) e e) não haveria necessidade de qualquer adaptação.
Acrescentaria
agora duas novas questões:
-
f)
Utilizando régua, esquadro e compasso reproduz a construção fornecida
no enunciado;
-
g)
Certamente, inseriste o segmento de recta [DE] utilizando a régua
graduada, isto é, utilizando o procedimento da animação seguinte (a animação JavaSketchpad realizada com base numa
contribuição de Arsélio
Martins ---» tri_neusis1
[ver acima]). Confirma.
TEXTO: "De facto, esta foi uma das soluções encontradas...
Uma dessas curvas é a concóide de Nicomedes, com a qual iremos
contactar dentro em breve.
Este
texto elucidaria o aluno sobre a geometria euclideana, as construções que
são consideradas legítimas nesta geometria, a possibilidade de dividir
alguns ângulos em três partes iguais, exemplificando com o de 90 graus, da
impossibilidade da trissecção euclideana do ângulo arbitrário provada
apenas no séc. XIX, que os antigos gregos procuraram a solução deste
problema, mas que as tentativas de resolução não se limitaram a este período.
Que
o problema da trissecção dum ângulo agudo fica, portanto, resolvido se
soubermos inserir o segmento [DE], isto é, que o problema da trissecção
do ângulo fica reduzido a um outro problema, que os geómetras gregos
designaram por problema de construção por nêusis. Que
os geómetras gregos não se limitavam à utilização da régua e do
compasso, segundo o método euclideano. Por vezes, viam-se na necessidade de
recorrer a construções que não conseguiam reduzir ao traçado e ao
prolongamento de rectas e ao traçado de circunferências e que, portanto,
exigiam instrumentos diferentes, alguns dos quais mecânicos, produzindo
desta forma algumas curvas especiais, que não circunferências.
|
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| Na
minha opinião, a actividade proposta além de poder contribuir
para uma revisão de alguns conceitos, tem um aspecto extremamente
rico: a formulação de algumas questões é tão pouco habitual
que, até a nós professores, fica a sensação de
algum mistério. O que constituirá, certamente, uma situação não
rotineira e um desafio para os alunos. |
|
| Esta
ficha de trabalho poderá ser trabalhada perfeitamente numa aula. |
|
| Algumas
das animações que figuram nesta coluna direita da página
poderão constituir algumas ferramentas para a
exploração/revisão de alguns conceitos. |
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