Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Introdução ao Trabalho

      Uma das necessidades mais antigas das civilizações foi a medição de áreas. O quadrado é, sem dúvida, a figura mais simples e aquela com que parece ter sido intuitivamente mais fácil medir áreas desde todos os tempos. Talvez por isso, os antigos geómetras tentaram estudar as áreas de outras figuras, relacionando-as com o quadrado; por isso se usou a expressão "quadratura" do rectângulo, do triângulo, de um polígono e do círculo no sentido de procurar um quadrado com área igual à de cada uma daquelas figuras.

      Euclides, na proposição 14, Livro II dos Elementos, apresenta a figura ao lado, em que [ABCD] é um rectângulo;  é igual a  e, construída a semicircunferência de diâmetro [AE] e determinado F, prolongando [BC] até à circunferência, Euclides afirma que o quadrado [FBHG] tem a mesma área que o rectângulo [ABCD].

      Mas uma quadratura que fascinava os geómetras gregos era a quadratura de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de circunferência como as lúnulas.

      O problema de achar um quadrado com a mesma área que um círculo dado, usando os instrumentos de Euclides, atravessou séculos e séculos de História, conheceu inúmeras tentativas de resolução e outras tantas soluções que mais tarde vieram a ser contrariadas. Por exemplo, o matemático português Pedro Nunes (1502-1578) provou, na sua obra De erratis Orontii Finaee, que estava errada a solução encontrada pelo francês Oronce Finée.

      A mais antiga referência ao problema da quadratura do círculo que chegou até aos nossos dias consta do papiro de Rhind, copiado cerca de 1800 anos a. C. pelo escriba Ahmes, a partir de um documento já com um ou dois séculos de existência nessa altura. Para calcular a área de um círculo de diâmetro d, Ahmes subtrai  de d a d, multiplica a diferença por d e subtrai a este produto a sua nona parte. Ou seja, o círculo fica associado a um quadrado cujo lado mede  do seu diâmetro. Pode considerar-se que este é um óptimo resultado para a quadratura do círculo, tendo em conta outras tentativas entretanto conhecidas e cujos resultados estão mais afastados do valor da área do círculo.

      Após numerosas pesquisas infrutíferas para encontrar a solução exacta para a quadratura do círculo, começou a levantar-se entre os matemáticos do séc. XVI a dúvida sobre a existência de tal solução. James Gregory tenta demonstrar a impossibilidade da quadratura (1667), mas é só em 1882 que o matemático Lindemann põe fim às dúvidas demonstrando cabalmente a inexistência de solução para o problema da "quadratura do círculo”.

Adaptado de Um pouco de História, Infinito 10, pág. 50, Areal Editores, 1997

 

Trabalho

 

 

 

A.   Prova a veracidade da proposição de Euclides:

      Euclides, na proposição 14, Livro II dos Elementos, apresenta a figura ao lado, em que [ABCD] é um rectângulo;  é igual a  e, construída a semicircunferência de diâmetro [AE] e determinado F, prolongando [BC] até à circunferência, Euclides afirma que o quadrado [FBHG] tem a mesma área que o rectângulo [ABCD].

B.   Já no século V a.C., a geometria das áreas relativa a figuras poligonais constituía um domínio de vastidão apreciável e a sua extensão às figuras curvilíneas se apresentava como um problema de investigação matemática. A principal questão que se punha era a de, dado um círculo, construir com régua e compasso o lado dum quadrado com área igual à desse círculo. Como hoje se sabe, tal construção é impossível apenas com aqueles instrumentos. Mas Hipócrates de Quios conseguiu quadrar, no contexto da geometria plana da régua e do compasso, certas figuras curvilíneas chamadas lúnulas.

      Duas circunferências complanares, com dois pontos em comum, A e B, dividem o plano em quatro regiões. Uma dessas regiões chama-se lúnula, se estiver contida nalgum dos dois semiplanos determinados pela recta AB; portanto, trata-se duma figura plana delimitada por dois arcos de circunferência com a concavidade no mesmo sentido.

      Os três arcos são semicircunferências com centros nos pontos médios dos lados do triângulo [ABC].
Mostra que a área amarela é igual à área do triângulo. Podes então concluir que nem sempre aparece  para calcular áreas de figuras em que intervêm círculos.

 

 

C.   Para calcular a área de um círculo de diâmetro d, Ahmes subtrai  de d a d, multiplica a diferença por d e subtrai a este produto a sua nona parte. Ou seja, o círculo fica associado a um quadrado cujo lado mede  do seu diâmetro.

      Pode considerar-se que este é um óptimo resultado para a quadratura do círculo, tendo em conta outras tentativas entretanto conhecidas e cujos resultados estão mais afastados do valor da área do círculo.

      Verifica os cálculos indicados e comprova o óptimo resultado para a quadratura do círculo.

 

D.   Vamos regressar à proposição II.14.

      A construção proposta por Euclides sugere um processo geométrico de construir um segmento de recta de comprimento igual à raiz quadrada do comprimento de um dado segmento.

      Prova que, de facto, assim é: .

 

 

 

 

E.   A possibilidade da quadratura do círculo pela construção euclideana dependia inteiramente de  ser ou não algébrico. O teorema de Lindemann provou então a irracionalidade de , e provou que o problema da quadratura do círculo é impossível pelas regras da geometria grega. Portanto a transcendência de  implica que não existe uma construção com régua e compasso, para construir um quadrado com igual área a um círculo dado. Isto é o fim da história de  e da quadratura do círculo.

      Podes fazer uma viagem pela história de , vendo o trabalho realizado em 1999/2000 por duas alunas da Escola Secundária Padre Alberto Neto (Queluz): http://joanario.no.sapo.pt/pi.htm.

FIM

O Professor