Notas
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... (O diálogo estabelece-se entre Sócrates e Ménon) SÓCRATES: Diz-me, rapaz, sabes que esta figura é um quadrado?
ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: O quadrado tem estas quatro linhas iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: E estas linhas que o atravessam pelo meio são também iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Uma figura deste género pode ser maior ou mais pequena? ESCRAVO: Certamente. SÓCRATES: Se este lado tivesse dois pés de comprimento e este outro também, quantos pés mediria o todo? Repara bem: se este lado fosse de dois pés e aquele outro fosse de um pé somente, não é verdade que o espaço seria de uma vez dois pés ? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Mas, como o segundo é também de dois pés, não faz isso duas vezes dois? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Portanto, a figura é agora de duas vezes dois pés. ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Quantos são duas vezes dois pés? Faz a conta e diz-me! ESCRAVO: Quatro. SÓCRATES: Não seria possível ter uma figura dupla desta, mas semelhante, tendo também todas as suas linhas iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Quantos pés teria? ESCRAVO: Oito. SÓCRATES: Ora tenta dizer-me qual seria o comprimento de cada linha da nova figura. Nesta, a linha tem dois pés; quantos terá a linha da figura dupla? ESCRAVO: É evidente, Sócrates, que terá o dobro. ... (O diálogo estabelece-se entre Sócrates e Ménon) |
| Quadrado |
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Em geometria, quadrado
é um quadrilátero com lados iguais e ângulos iguais; pode dizer-se
que é um rectângulo com os lados todos iguais ou um losango com os
ângulos todos iguais. |
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| Área
do Quadrado |
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A fórmula que
permite calcular a área de um quadrado, cujo comprimento do lado é l,
é: |
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SÓCRATES: (Dirigindo-se ao escravo:) Responde-me. Dizes que a linha de comprimento duplo produz a figura de tamanho duplo? Repara: não me refiro a uma figura comprida aqui e curta ali. Pretendo um figura como esta, igual em todos os sentidos, mas que tenha uma extensão dupla, ou seja, de oito pés. Vê se ainda julgas que ela se obtém por duplicação da linha. ESCRAVO: Penso que sim. SÓCRATES: Esta linha estará duplicada se lhe juntarmos, a partir deste ponto, outra de igual comprimento? ESCRAVO: Sem dúvida. SÓCRATES: É então sobre esta linha que se constrói a figura de oito pés, traçando quatro linhas iguais? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Tracemos então quatro linhas iguais, tomando esta para modelo. Eis uma figura que tu dizes ter oito pés?
ESCRAVO: Certamente. SÓCRATES: Mas não contém ela quatro quadrados iguais ao primeiro, o qual tem quatro pés? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Qual é então a sua extensão? Não é quatro vezes maior? ESCRAVO: Sem dúvida. SÓCRATES: Uma coisa quatro vezes maior do que outra é o dobro dela? ESCRAVO: Não, por Zeus! SÓCRATES: Então o que é? ESCRAVO: O quádruplo. SÓCRATES: Portanto, dobrando a linha, não se constrói a figura dupla, mas sim quádrupla. ESCRAVO: É verdade. SÓCRATES: E quatro vezes quatro são dezasseis, não são? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Então com que linha obteremos uma figura de oito pés? Esta deu-nos uma figura quádrupla, não deu? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: E aquela linha com metade do comprimento deu-nos uma figura de quatro pés? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Muito bem. E uma figura de oito pés não é dupla desta e metade daquela? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Não terá então uma linha maior do que esta e menor do que aquela? ESCRAVO: Penso que sim. SÓCRATES: Correcto. Responde sempre conforme a tua opinião. Ora diz‑me, não tinha a primeira linha dois pés e a segunda quatro? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Portanto, para a figura de oito pés, é necessária uma linha mais comprida do que a de dois pés mas mais curta do que a de quatro. ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Tenta dizer-me qual o seu comprimento. ESCRAVO: Três pés. SÓCRATES: Para que a linha tenha três pés basta juntar, a esta, a metade do seu comprimento: dois pés mais um pé. E, neste lado, também dois pés mais um pé. Eis a figura que tu pretendes?
ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Mas se a figura tem três pés neste lado e três pés naquele lado, não é ela de três vezes três pés? ESCRAVO: Parece que sim. SÓCRATES: E quantos são três vezes três pés? ESCRAVO: Nove. SÓCRATES: Mas, para que a figura fosse dupla da primeira, quantos pés deveria ter? ESCRAVO: Oito. SÓCRATES: Então não é ainda a linha de três pés que nos dá uma figura de oito pés? ESCRAVO: É verdade que não. SÓCRATES: Que linha é então? Tenta dizer‑no‑la exactamente, e se preferires não fazer contas, mostra‑no‑la na figura. ESCRAVO: Por Zeus, Sócrates, não sei! ... (O diálogo estabelece-se entre Sócrates e Ménon) |
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SÓCRATES: (Dirigindo-se ao escravo:) Diz-me, rapaz, temos então aqui uma figura de quatro pés? Compreendes? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Podemos juntar-lhe este outro, que lhe é igual? ESCRA VO: Sim. SÓCRATES: E ainda este outro, igual a cada um dos dois primeiros? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: E podemos completar a figura, colocando este outro neste canto vazio. ESCRAVO: Perfeitamente. SÓCRATES: Não temos nós agora quatro figuras iguais?
ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Todas juntas, quantas vezes são maiores do que esta? ESCRAVO: Quatro vezes. SÓCRATES: Mas nós pretendemos uma figura dupla; lembras-te? ESCRAVO: Sem dúvida. SÓCRATES: Estas linhas, que vão dum ângulo a outro, não dividem ao meio cada um dos quadrados?
ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Eis, portanto, quatro linhas iguais que delimitam um novo quadrado. ESCRAVO: Vejo. SÓCRATES: Repara bem: qual é a extensão deste quadrado? ESCRAVO: Não sei. SÓCRATES: Estas linhas não dividem ao meio cada um dos quadrados? Sim ou não? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: Quantas destas metades há no quadrado do meio? ESCRAVO: Quatro. SÓCRATES: E neste aqui? ESCRAVO: Duas. SÓCRATES: O que é quatro em relação a dois? ESCRAVO: O dobro. SÓCRATES: Quantos pés tem então este quadrado? ESCRAVO: Oito. SÓCRATES: E sobre que linha foi ele construído? ESCRAVO: Sobre esta linha.
SÓCRATES: A linha que vai dum ângulo a outro no quadrado de quatro pés? ESCRAVO: Sim. SÓCRATES: A esta linha os sofistas chamam a diagonal. Se este é o seu nome, dizes que a figura dupla se forma sobre a diagonal. ESCRA VO: Assim é, Sócrates. ... (O diálogo estabelece-se entre Sócrates e Ménon) |
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Adaptado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA, |
| Lados
e diagonais |
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Polígono é
uma figura plana limitada por segmentos de recta, chamados lados,
que ligam dois vértices consecutivos. |
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