Acção de Formação a Distância PROF2000
AF-18 - 2003

MÉNON: Mas limitas-te a afirmar que não aprendemos nada, e que aquilo a que chamamos aprender não é mais do que recordar? Podes mostrar-me que assim é?

SÓCRATES: Já te disse, Ménon, que és muito malicioso. Pedes-me uma lição, quando acabo de afirmar que não há ensino, que há apenas reminiscência. Pretendes fazer-me cair imediatamente em contradição comigo mesmo.

MÉNON: De modo nenhum, Sócrates, por Zeus! Não tinha essa intenção e falei assim apenas por hábito. Se tiveres alguma maneira de me fazeres ver que é como dizes, mostra-mo.

SÓCRATES: Não é fácil, mas gostaria de tentar, por amizade a ti. Chama um dos muitos escravos que te acompanham, aquele que quiseres, e far‑te‑ei ver o que desejas.

MÉNON: De bom grado. (Dirigindo-se a um jovem escravo:) Vem cá.

SÓCRATES: É grego? Fala a nossa língua?

MÉNON: Perfeitamente; nasceu em minha casa.

SÓCRATES: Presta bem atenção e vê se ele parece recordar-se ou se parece aprender comigo.

MÉNON: Prestarei atenção.

SÓCRATES: Diz-me, rapaz, sabes que esta figura é um quadrado?

ESCRAVO: Sim.

SÓCRATES: O quadrado tem estas quatro linhas iguais?

ESCRAVO: Sim.

SÓCRATES: E estas linhas que o atravessam pelo meio são também iguais?

ESCRAVO: Sim.

SÓCRATES: Uma figura deste género pode ser maior ou mais pequena?

ESCRAVO: Certamente.

...

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 342-350)

Para Platão, a missão da filosofia era descobrir o conhecimento escondido atrás do véu da opinião, das aparências, da mudança e da ilusão do mundo temporal. Nesta tarefa a matemática ocupava um lugar central, pois o conhecimento matemático era o exemplo perfeito do conhecimento independente dos sentidos, conhecimento de verdades necessárias e eternas.

No livro Meno, de Platão, Sócrates questiona um jovem escravo e leva-o a descobrir que a área do quadrado grande (v. figura) é o dobro da área de ABCD, cuja diagonal tem o comprimento do lado do quadrado grande. Como é que o jovem escravo sabe isto? Sócrates afirma que o rapaz não o aprendeu nesta vida mortal; por isso o seu conhecimento deve ser uma recordação da vida antes do nascimento.

Para Platão, este exemplo mostra que existe conhecimento verdadeiro, conhecimento do eterno. Platão argumenta que:

1. Conhecemos verdades da geometria que não aprendemos nem através da educação nem da experiência;

2. Este conhecimento é um exemplo das verdades imutáveis e universais que, realmente, aprendemos e reconhecemos;

3. Assim, deve existir um reino da verdade absoluta e eterna, a fonte e a base do nosso conhecimento do bem.

Davis, Philip J. e Hersh, Reuben, A Experiência Matemática, Ciência Aberta, n.º 75, pág. 305-306

Ver "Da certeza à fiabilidade",
Anexo ao Trabalho n.º 1

Um dos diagramas mais antigos e mais completos dos Elementos de Euclides é um fragmento de um papiro encontrado entre as pilhas notáveis do entulho de Oxyrhynchus (perto da cidade actual de Behnesa, aproximadamente a 170 km do Cairo e 20 km a oeste do Nilo) em 1896-97 pela expedição célebre de B. P. Grenfell e A. S. Hunt. Presentemente, este fragmento de papiro encontra-se no Museu de Arqueologia e Antropologia da Universidade da Pensilvânia.

Este é um fragmento do que é provavelmente o maior rolo de papiro dos primeiros anos da nossa era. Foi datado pelos seus descobridores originais como sendo por volta do ano 300 d.C., mas por um exame mais recente Eric Turner data-o entre 75-125 d.C.. Oxyrhynchus nessa época era povoada por colonos Gregos, resultantes da conquista de Alexandre, O Grande, por volta de 300 a.C..

O fragmento contém a indicação, em grego, da Proposição 5 do livro II dos Elementos de Euclides. No topo do fragmento está um pequeno traço do que parece ser a indicação do Proposição II.4. Nenhuma parte da prova de uma ou de outra das proposições se encontra no fragmento.

Está manuscrito com letras maiúsculas. As palavras não estão separadas umas das outras e diversas palavras são quebradas no meio e nas extremidades da linha. Tudo isto era prática normal nos manuscritos gregos desse período. O papiro é de uma qualidade mais fraca do que o de muitos outros textos do mesmo período. O material é áspero, a escrita não é de qualidade escriba profissional e o diagrama não tem qualquer etiqueta para acompanhar o raciocínio da prova de Euclides. Por estas razões foi conjecturado (por David Fowler) que o manuscrito foi escrito por alguém para uso particular.

O que diz o texto?

If a straight line be cut into equal and unequal segments, the rectangle contained by the unequal segments of the whole together with the square on the straight line between the points of section is equal to the square on the half.

Se uma linha recta for cortada em segmentos iguais e em segmentos desiguais, então o rectângulo contido pelos segmentos desiguais, juntamente com o quadrado sobre a linha recta entre os pontos de secção, é igual ao quadrado sobre a metade.

Quadraturas

Outro importante problema que os geómetras gregos se puseram foi o das quadraturas de figuras planas. Seja F uma figura plana; quadrar F é construir um quadrado com área igual à de F. Nos Elementos, este assunto é tratado a partir das aplicações de áreas. Na proposição Elementos I.45, Euclides ensina (em particular) a transformar qualquer figura plana poligonal num rectângulo de igual área e com um lado arbitrariamente escolhido. Portanto, para transformar qualquer figura plana poligonal num quadrado de igual área, bastará saber transformar qualquer rectângulo num quadrado de área igual.

Euclides estuda a quadratura de rectângulos no segundo livro do seu tratado, nomeadamente nas proposições nas proposições Elementos II.5 e Elementos II.6. As demonstrações destes dois resultados assentam apenas na igualdade dos dois rectângulos complementares de qualquer decomposição na diagonal dum quadrado.

A última proposição do Livro II (II.14 - Construir um quadrado igual a uma figura rectilínea dada) ensina a obter a quadratura de qualquer figura poligonal.

Hipócrates de Quios e a quadratura de certas lúnulas

Já no século V a.C., a geometria das áreas relativa a figuras poligonais constituía um domínio de vastidão apreciável e a sua extensão às figuras curvilíneas se apresentava como um problema de investigação matemática. A principal questão que se punha era a de, dado um círculo, construir com régua e compasso o lado dum quadrado com área igual à desse círculo. Como hoje se sabe, tal construção é impossível apenas com aqueles instrumentos. Mas Hipócrates de Quios conseguiu quadrar, no contexto da geometria plana da régua e do compasso, certas figuras curvilíneas chamadas lúnulas.

As quadraturas de Hipócrates são conhecidas através do comentário de Simplício (século VI d.C.) à Física de Aristóteles, que contém duas importantes citações de autores mais antigos, Eudemo de Rodes (século IV a.C.) e Alexandre de Afrodísia (séculos II-III d.C.). A importância deste relato de Simplício para a história da matemática advém de ser o único texto hoje disponível, com conteúdo efectivamente matemático, anterior ao período em que Euclides compôs os seus Elementos.

Ao todo, Simplício transcreve seis quadraturas da autoria de Hipócrates, correspondendo as duas primeiras ao texto de Alexandre e as quatro restantes ao de Eudemo. As quadraturas de lúnulas atribuídas a Hipócrates assentam no resultado seguinte: a razão entre as áreas de dois círculos é a razão entre as áreas dos dois quadrados cujos lados são os diâmetros desses círculos. O texto de Simplício não fornece nenhuma indicação acerca do modo como Hipócrates teria demonstrado este teorema. A primeira prova de que há registo é a que Euclides dá da proposição Elementos XII.2; essa prova, geralmente atribuída a Eudoxo de Cnido, é apresentada no contexto da nova teoria eudoxeana das proporções, aplicável a grandezas arbitrárias, comensuráveis ou não. Mas o relato de Eudemo-Simplício faz supôr que Hipócrates de Quios ainda usa o conceito pitagórico de proporcionalidade: É que sectores circulares semelhantes são os que constituem as mesmas partes dos respectivos círculos, como por exemplo um semicírculo é semelhante a um semicírculo, e um terço de círculo é semelhante a um terço de círculo.

Os trabalhos de Hipócrates relativos às quadraturas de lúnulas (e doutras figuras planas mais complexas) devem ter reforçado a esperança dos geómetras de virem a quadrar o círculo com o único auxílio da régua e do compasso.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 269-271 e 292-295)

O ponto de partida para a actividade apresentada a seguir é uma referência histórica intitulada Um pouco de História, constante no manual Infinito 10, pág. 50, Areal Editores, 1997.

A actividade começa com a prova da quadratura do rectângulo, segundo Elementos II.14, de seguida são exploradas as lúnulas de Hipócrates construídas sobre os catetos de um triângulo rectângulo. Depois aflora-se a quadratura do círculo segundo o registo do papiro de Rhind, retoma-se Elementos II.14 para uma exploração da construção de um segmento de comprimento igual à raiz quadrada do comprimento de um segmento dado (incluindo a função raiz quadrada de x e a construção de uma parábola). A actividade termina com uma proposta para uma viagem sobre a evolução de Pi.

Decomposição na diagonal

Os paralelogramos [AEKH] e [KGCF] são semelhantes entre si e ao paralelogramo inicial, [ABCD]; as suas diagonais [AK] e [KC] estão contidas na diagonal [AC] do paralelogramo [ABCD]. Na terminologia de Euclides, os dois paralelogramos semelhantes, obtidos numa decomposição deste tipo, dizem-se paralelogramos na diagonal e os outros dois paralelogramos da decomposição ([EBGK] e [HKFD]) dizem-se paralelogramos complementares. Uma decomposição deste tipo é costume chamar-se uma decomposição na diagonal.

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

Elementos I.43:
Em qualquer paralelogramo, os complementares dos paralelogramos na diagonal são iguais entre si.

Lúnula

Duas circunferências complanares, com dois pontos em comum, A e B, dividem o plano em quatro regiões. Uma dessas regiões chama-se lúnula, se estiver contida nalgum dos dois semiplanos determinados pela recta AB; portanto, trata-se duma figura plana delimitada por dois arcos de circunferência com a concavidade no mesmo sentido.

Hipócrates e a inserção de dois meios proporcionais

A mais importante fonte de informação histórica acerca das tentativas para duplicar o cubo encontra-se num comentário a três obras de Arquimedes, escrito por Eutócio de Áscalon. Em particular, o comentário ao livro II do tratado Da Esfera e do Cilindro tem uma especial importância histórica, por Eutócio apresentar uma resenha das várias soluções do problema da duplicação do cubo descobertas pelos matemáticos que o precederam. Tal como acontece com a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo, hoje sabe-se que a duplicação do cubo não pode ser levada a cabo com o exclusivo recurso à régua e ao compasso. (Teoria de Galois, duplicação do cubo)

Segundo Eutócio, Hipócrates de Quios terá observado que a resolução do problema da duplicação dum dado cubo é equivalente à resolução do problema da inserção de dois meios proporcionais entre o segmento de recta que é aresta do cubo e o segmento de recta duplo desse. Tratou-se duma descoberta muito importante, porque reduziu o problema inicial a um outro, abrindo deste modo uma nova frente de investigação que haveria de se revelar frutífera.

A nova forma que Hipócrates deu ao problema da duplicação do cubo tem certas analogias com a questão da duplicação do quadrado que, por esta razão, lhe pode ter servido de inspiração. O problema da duplicação do quadrado consiste na construção (do lado) dum quadrado de área dupla da dum quadrado dado. O diálogo Menon, de Platão, escrito nos princípios do século IV a.C., toma patente que este problema não apresentava dificuldades para os gregos cultos do tempo: a diagonal dum quadrado é o lado do quadrado de área dupla.

Mas a questão da duplicação do quadrado pode ser abordada de outro modo. Justapondo dois exemplares do quadrado dado, obtém-se um rectângulo em que um dos lados é duplo do outro. O problema em causa é a quadratura deste rectângulo, o que se resolve construindo o meio proporcional entre os respectivos lados: se o lado do quadrado inicialmente dado for designado por l, o rectângulo terá de lados l e 2l e área igual à dum quadrado cujo lado x satisfaz a relação

Tal deve-se a que a razão entre as áreas dos quadrados de lados l e x é

e, portanto, o quadrado de lado x tem área dupla da do quadrado de lado l.

A duplicação dum quadrado equivale à quadratura do rectângulo
obtido por justaposição de dois exemplares do quadrado dado.

Embora não haja nenhum testemunho directo desse facto, alguns historiadores acreditam que Hipócrates começou por reflectir na questão da duplicação do quadrado e, de seguida, procurou generalizá-la. Assim, terá observado que, para duplicar um cubo de aresta a, bastaria encontrar dois segmentos de recta x e y satisfazendo as relações

Com efeito, a razão entre os volumes dos cubos de arestas a e x é:

Portanto, o cubo de aresta x tem volume duplo do do cubo de aresta a.

A partir de Hipócrates, a atenção dos geómetras que pretendiam resolver o problema da duplicação do cubo voltou-se também para a busca de dois meios proporcionais entre dois segmentos de recta (com particular ênfase no caso de um destes ser duplo do outro). No século IV a.C., esta busca estaria na origem da descoberta (ou, pelo menos, do estudo atento) das secções cónicas.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 309-311)

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

Eutócio de Áscalon atribui a Platão uma solução de índole mecânica do problema da inserção de dois meios proporcionais entre quaisquer dois segmentos de recta e, portanto, também do problema da duplicação do cubo. É duvidoso que tenha sido Platão o proponente desta solução do problema; mais provável é que ela seja da autoria de algum geómetra da Academia (Heath, 1908).

O esquadro de Platão seria um instrumento constituído por três réguas, duas delas paralelas entre si e uma terceira perpendicular às anteriores, estando esta última fixada a uma das primeiras, mas permitindo a deslocação da outra numa calha. Portanto, duas das réguas seriam fixas, enquanto que a outra deslizaria paralelamente a si mesma.

Suponha-se que se pretendem construir dois meios proporcionais entre dois segmentos de recta dados, a e b. Consideram-se duas rectas perpendiculares r e s, intersectando-se num ponto O, e marcam-se dois pontos A e B sobre r e s, respectivamente, de tal modo que

 OA = a e OB = b.

De seguida, tenta ajustar-se o esquadro de Platão à figura, de modo a que as duas réguas paralelas passem por A e B e os pontos em que elas encontram a outra régua, X e Y, estejam sobre as rectas s e r, respectivamente.

Triângulos semelhantes obtidos com o esquadro de Platão.

Deste modo, obtêm-se três triângulos, AOX, XOY e YOB, semelhantes entre si. Portanto,

Portanto, os segmentos de recta OX e OY são os dois meios proporcionais entre AO e OB. Em particular, se OB for o dobro de AO então OX é a aresta do cubo cujo volume é o dobro do volume do cubo de aresta AO.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 311-312)

Rettangolo di Platone
(versione Dürer)

Cálculo de raízes cúbicas e o esquadro de Platão

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

Organizado por Adelina Precatado e Henrique Guimarães.
Publicado pela Associação de Professores de Matemática.
APM

Não é de estranhar que o problema da duplicação do cubo tenha levado à descoberta das secções cónicas. De facto, como Hipócrates tinha mostrado, esse problema é equivalente ao de, dado um cubo de aresta a, procurar dois segmentos de recta x e y verificando a proporcionalidade

Para isso, basta que se verifiquem duas das três igualdades seguintes:

Ora, estas são as equações de duas parábolas e duma hipérbole. Portanto, os segmentos procurados são determinados pela intersecção de quaisquer duas destas três cónicas. Note-se, contudo, que este modo de encarar a questão, associando uma equação a uma curva, é inteiramente estranho à geometria antiga; com ele, apenas se pretende fazer notar que as duas questões matemáticas estão intimamente ligadas e que, portanto, as reflexões sobre uma delas podem ter conduzido, de maneira natural, à tomada de consciência acerca da outra.

Menecmo (século IV a.C.) é o matemático mais antigo que os documentos associam com as secções planas do cone. De acordo com o resumo histórico de Proclo, tratar-se-ia dum irmão de Dinóstrato; é provável que ambos tenham estudado na Academia de Platão.

No seu comentário ao tratado Da Esfera e do Cilindro, de Arquimedes, Eutócio reproduz uma carta (que hoje se sabe não ser autêntica) de Eratóstenes, ao rei Ptolomeu III do Egipto, em que o autor teria afirmado:

Não procures conseguir coisas difíceis de executar por meio dos cilindros de Arquitas, nem pela tríade de secções cónicas de Menecmo, nem descrevê-las por alguma espécie de linhas curvas do divino Eudoxo; pois, por meio destas placas, construirás milhares de médias, começando por um pequeno número de base.

As «coisas difíceis de executar» são os dois meios proporcionais entre dois segmentos de recta, que Arquitas de Tarento (séculos V-IV a.C.) teria encontrado por intermédio da intersecção de três superfícies. A solução proposta por Eudoxo de Cnido é hoje desconhecida. A tríade de secções cónicas de Menecmo é constituída pelos três tipos de curvas que se podem obter por intersecção dum cone de base circular com um plano, hoje conhecidas pelos nomes de elipses, parábolas e hipérboles.

Retirado de HISTÓRIA DA MATEMÁTICA,
Maria Fernanda Estrada, Carlos Correia de Sá,
João Filipe Queiró, Maria do Céu Silva e Maria José Costa,
Universidade Aberta, 2000
(Pág. 313-314)

Na página 255 do manual Infinito 10, Areal Editores, 1997, há uma referência histórica relativa ao uso das secções cónicas na resolução de problemas, tais como o da duplicação do cubo. É esta referência o ponto de partida para uma ficha de trabalho que pretende explorar a parábola como secção cónica, como lugar geométrico e definida por uma expressão analítica.

Além do uso da calculadora gráfica e da manipulação de expressões algébricas, pretende-se que os alunos interpretem e analisem diversos elementos geométricos dinâmicos e concluam da conexão entre a quadratura de um rectângulo e a existência de uma parábola como lugar geométrico.

Secções Cónicas
de Menecmo