Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Ano Lectivo de 2003/04 Trigonometria – 1 (Revisões) 12.º Ano

Ficha de Trabalho com Proposta de Resolução em formato PDF

1. Um cone, cuja base tem raio r e cuja geratriz tem comprimento l, roda sobre uma superfície horizontal e plana.

a é ângulo do cone

a) Descreva o que acontece com o cone.

b) Sabendo que o cone retorna ao ponto de partida, depois de ter efectuado duas revoluções completas em torno do seu eixo de simetria, qual é a amplitude do ângulo do cone?

Solução

Proposta de resolução

2. Pretende-se saber o ângulo que a aresta lateral de um tetraedro regular faz com o plano da base. Para isso, considerou-se a secção produzida nesse tetraedro pelo plano AMV, onde M é o ponto médio da aresta [BC].

Determine a amplitude do ângulo considerado (com aproximação à décima de grau), sabendo que a aresta do tetraedro tem 2 centímetros de comprimento.

Solução

Proposta de resolução

3. Mostre que:

b) , para os valores em que a expressão tem significado.

Proposta de resolução

4. Simplifique a expressão: .

Solução

Proposta de resolução

5. Sabendo que e que , determine o valor exacto de .

Solução

Proposta de resolução

6. Determine, recorrendo a intervalos de números reais, os valores de k para os quais:

Solução

Proposta de resolução

7. Um ponto C desloca-se sobre uma semicircunferência de diâmetro [AB] e centro O.

Considere que o comprimento do segmento [AC], em função da amplitude x do ângulo AOC, é dado por

a) Indique o valor de x para o qual .
Justifique que a semicircunferência tem raio 1.

b) Justifique que, quando , o triângulo [ABC] é rectângulo em C.
Mostre que .

Nota: Recorde que a amplitude de um ângulo inscrito numa circunferência é metade
da amplitude do arco compreendido entre os lados desse ângulo.

c) Verifique que a área do triângulo [ABC] é dada por .
Justificando, indique o valor de x para o qual é máxima a área do triângulo.

Nota: Tenha em consideração a relação seguinte: .

d) Mostre que o perímetro do triângulo [ABC] é dado por .
Utilizando as potencialidades da calculadora gráfica, determine o valor de x para o qual é máximo o perímetro do triângulo, assim como o valor desse perímetro. (aproximação às centésimas) (Note que )
Ilustre a resolução com um ou mais gráficos e descreva os procedimentos que efectuou.

Considere agora que . Repita a questão colocada no parágrafo anterior e, se for o caso, indique a sua suposição.

Proposta de resolução

8. Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEG].
Tem-se que:

· [ABFG] é um quadrado de lado 2

· FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] [BD].

· designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE ( ).

a) Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada em função de , por:

Sugestão: Pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG]. (note que este trapézio não é o polígono sombreado)

b) Determine e .
Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.

c) O valor de que corresponde à área máxima do polígono [ABEG] é uma solução da equação:

Determine esse valor de e encontre o valor máximo da área.

d) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema:

Quais são os valores de x para os quais a área do polígono [ABEG] é ?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas.

Solução

Proposta de resolução

9. Sabendo que , calcule .

Solução

Proposta de resolução

10. Resolva as condições seguintes:

a) ;

b) .

Solução

Proposta de resolução

11. Na figura está representado um lago artificial de forma rectangular, com 20 metros de largura e 30 metros de comprimento.

Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos P₁ e P₂, (P₁ [AB] e P₂ [BC]), tal como a figura ilustra.

A ponte tem um ponto de apoio Q, situado a 8 m de uma das margens e a 6 m da outra.

Seja x a amplitude do ângulo P₂P₁B. (em radianos)

a) Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por

b) Considerando que a localização de P₁ e de P₂ pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem . Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

c) Determine entre que valores pode variar a amplitude do ângulo P₂P₁B.
Apresente o resultado em radianos, com arredondamento às centésimas.

d) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema:

Quais são os valores de x para os quais o comprimento da ponte é 25 metros?

Solução

Proposta de resolução

12. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular.
Sabe-se que:

· A base da pirâmide tem centro F de lado 2

· G é o ponto médio da aresta [BC]

· x designa a amplitude do ângulo FGE

a) Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por

b) Determine o valor de x para o qual a área total da pirâmide é igual a 12.

c) Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução do problema da alínea anterior.

Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondados às centésimas.

Solução

Proposta de resolução

13. Na figura está representada a Terra e uma nave espacial N.
Considere que a Terra é uma esfera de centro C e raio r.

A área da superfície da terra visível da nave, representada a sombreado na figura, é dada, em função do ângulo q, por

( )

a) Determine o valor de q para o qual é visível, da nave, a quarta parte da superfície terrestre.

b) Designado por h a distância da nave à Terra (ver figura), mostre que a área da terra visível da nave é dada, em função de h, por .

Sugestão: Tenha em conta que o ângulo CAN é recto.

c) Como facilmente reconhecerá, .
Diga para que valor tende quando e interprete esse resultado no contexto da situação descrita.

Solução

Proposta de resolução

14. Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma recta r. Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se a 2 unidade da recta r.

Seja a distância de P a r, após uma rotação de amplitude . Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

[A] [B]

[C] [D]

Solução

15. O ângulo generalizado do 2.º quadrante cujo seno é igual a pode ser definido por:

[A] [B] [C] [D]

Solução

16. Um radiano é:

[A] a amplitude de um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao diâmetro dessa circunferência.

[B] a amplitude do ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao diâmetro da circunferência a que pertence

[C] a amplitude do ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao raio da circunferência a que pertence.

[D] o comprimento de um arco de circunferência a que corresponde um ângulo ao centro de cerca de 57º.

Solução

17. No referencial ortonormado da figura, considere o círculo trigonométrico, a recta de equação e o ângulo . O ponto P é a intersecção do lado extremidade de com a recta vertical considerada. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

[A] [B]

[C] [D]

Solução

18. De um ângulo , sabe‑se que e que .
A que quadrante pertence ?

[A] 1.º quadrante [B] 2.º quadrante [C] 3.º quadrante [D] 4.º quadrante

Solução

19. Na figura ao lado está representada uma circunferência de centro O e raio 1.
Os pontos A e B são extremos de um diâmetro da circunferência.
Considere que um ponto P, partindo de A, se desloca sobre o arco AB, terminando o seu percurso em B.
Para cada posição do ponto P, seja a amplitude, em radianos, do ângulo AOP.
Seja a função que, a cada valor de , faz corresponder o valor do produto escalar . Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função ?

[A] [B]

[C] [D]

Solução

20. Na figura estão representados, em referencial o. n. :

· um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1

· uma semi-recta paralela ao eixo , com origem no ponto

· um ponto A pertencente a esta semi-recta

· um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo positivo e cujo lado extremidade é a semi-recta

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de ?

[A] [B]

[C] [D]

Solução

21. Na figura junta está representado o círculo trigonométrico e um rectângulo [ABCD].
O lado [CD] está contido no eixo das abcissas.
Os vértices A e B pertencem à circunferência.
Seja a a amplitude do ângulo BOC.
A área do rectângulo [ABCD] é igual a

[A] [B]

[C] [D]

Solução

22. Um navio encontra‑se atracado num porto.
A distância h, de um dado ponto do casco do navio ao fundo do mar, varia com a maré.
Admita que h é dada, em função do tempo x, por .
A distância desse ponto do casco ao fundo do mar, no momento da maré‑alta, é:

[A] 4 [B] 10 [C] 13 [D] 16

Solução

23. O ângulo de 23º merece atenção especial, por razões históricas, pois é o ângulo compreendido por dois raios da Terra, um terminando no Equador e outro terminando no paralelo das Canárias.
Cristóvão Colombo necessitou de calcular a razão entre os perímetros desse paralelo e do Equador, que é aproximadamente (supondo a Terra esférica):

[A] 0,95. [B] 0,92.

[C] 0,75. [D] 0,39.

Solução

Pode encontrar mais exercícios de revisão, a partir desta ligação:

http://www.prof2000.pt/users/amma/recursos_materiais/rec/rec_mat_11.htm#03-04FT

SOLUÇÕES

b) .

2. .

4. .

5. .

6. .

b) e .

c) ; .

d) ou .

9. .

10.

a) .

b) .

11.

b) Aproximadamente 19,8 m.

c) , aproximadamente.

d) .

12.

b) .

c) . (que é o valor de aproximado às centésimas).

13.

a) .

c) .

14. A

15. D

16. C

17. D

18. C

19. B

20. C

21. A

22. C

23. B

Proposta de Resolução:

a) O cone rodando sobre uma superfície horizontal e plana, apoiando-se sucessivamente em todas as suas geratrizes, vai descrever um círculo de centro em V e raio l.

b) Como o cone retorna ao ponto de partida, depois de ter efectuado duas revoluções completas em torno do seu eixo de simetria, então o círculo referido na alínea anterior tem um perímetro que é duplo do da base do cone.
Assim, . Logo, sendo , é e, portanto, .

2. Como o tetraedro é regular, as suas faces são triângulos equiláteros geometricamente iguais, sendo .
Considerando agora o triângulo isósceles [AVM], traçando a sua altura relativamente a [AV], temos .
Logo, é a amplitude do ângulo considerado.

a) , c.q.m.

b) Ora, para os valores em que a expressão tem significado, vem:
, c.q.m.

5.
Ora, .
E, .
Como , então . Assim, aplicando a fórmula fundamental da trigonometria, temos:
.
Logo, .

6. Ora, quando , .
Logo, .
(Tenha em consideração as propriedades da função quadrática)

a) Ora, para , isto é, quando .
Como , então e, portanto, a semicircunferência tem raio 1.

b) O triângulo [ABC] é rectângulo em C pois o ângulo ACB está inscrito numa semicircunferência, sendo, por isso, recto.
Ora, , visto o ângulo inscrito ABC compreender o arco AC entre os seus lados.
Assim, e, portanto, , c.q.m.

c) Ora, , c.q.m.
A área do triângulo é máxima quando for máximo ( ), o que acontece para .

d) O perímetro do triângulo é dado por .
Introduzida a expressão algébrica que define a função e ajustada uma janela de visualização adequada, com a função GSolv + Max obtiveram-se os seguintes valores: para rad.

Considerando agora , obteve-se: para .

É de supor que o maximizante da área do triângulo é também maximizante do seu perímetro e, assim sendo, será .

a) Vamos aceitar a sugestão dada.
Ora, , logo ; , logo .
Assim, a área do polígono [ABEG] é dada em função de , por:

b) Ora, e .
Para , o polígono sombreado é o triângulo rectângulo [ADG], cuja área é .
Para , o polígono sombreado é o quadrado [ABFG], cuja área é também .

c) Ora,

A equação dada apenas tem uma solução no intervalo : , que será então o maximizante da área do polígono sombreado.
O valor máximo da área é, então, .

d) Pretende-se resolver a equação no intervalo .
Para isso consideraram-se as funções y₁ e y₂ (a seguir indicadas) e, (numa janela adequada) tendo em consideração o domínio da função dada, determinaram-se as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos:

Portanto, de acordo com o arredondamento pedido, os valores desejados são: ou .

9. Ora, .
E, .
Dado que , então .
Assim, utilizando a fórmula fundamental da trigonometria, vem: .
Logo, .

10.

a) Tendo em consideração a figura ao lado, vem imediatamente .

11.

a) Os ângulos P₂P₁B e P₂QQ₂ são geometricamente iguais, pois são ângulos de lados directamente paralelos. Considerando, sucessivamente, os triângulos rectângulos [P₁Q₁Q] e [P₂Q₂Q], vem:

e , donde e .

Logo, , c.q.m..

b) Ora, quando o triângulo rectângulo [P₁BP₂] for isósceles, logo .
Como , o comprimento da ponte nessas condições é aproximadamente 19,8 m.

c) A amplitude do ângulo P₂P₁B é mínima quando os pontos P₁ e A são coincidentes; é máxima quando são coincidentes os pontos P₂ e C.
Assim, e , donde rad e rad. Logo, , aproximadamente.

d) Pretende-se resolver a equação no intervalo , aproximadamente.
Para isso consideraram-se as funções e e (numa janela adequada, considerando o contexto da situação) determinaram-se as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos:

Dado que (aproximadamente), conclui-se que o problema apenas possui uma solução: , considerando a aproximação solicitada.

12.

a) No triângulo rectângulo [EFG], temos . Logo, .
A área de uma face lateral é, portanto, dada por .
Assim, a área total da pirâmide é dada por , c.q.m..

A área da pirâmide é igual a 12 para .

c) Definidas as funções e , numa janela de visualização adequada ao contexto da situação, podemos determinar as coordenadas do ponto de intersecção dos dois gráficos:

Com recurso à calculadora gráfica, concluímos que a área total da pirâmide é igual a 12 para . (que é o valor de aproximado às centésimas)

13.

a) A área da superfície terrestre é dada por .
A quarta parte da área da superfície terrestre é, portanto, . O valor de q a determinar é, então, a solução da equação .
Ora, .
Como , vem (radianos).

b) De acordo com os dados, tem-se .
Como a área da superfície da terra visível da nave é dada por , temos:
, c.q.m..

c) Quando , e . Logo, , quando .
Interpretação: A área da superfície da terra visível da nave aproxima-se tanto quanto se queira de metade da área da superfície total da Terra, desde que a nave esteja suficientemente longe da Terra.

O Professor