Acção de Formação à Distância TRENDS/PROF2000    

A-13 - Calculadora gráfica e o computador em interacção

António Manuel Marques do Amaral


Proposta de Trabalho N.º 2


Crescimento de uma população de árvores

O número de árvores de uma certa espécie aumenta no tempo t, de acordo com a lei, N(t) numa dada região de reserva natural.

 

  1. Quantas árvores tinha inicialmente a reserva natural?
  2. Em que momento t a população aumenta mais rapidamente?
  3. Sr. Jaime, guarda florestal, viveu sempre junto da reserva natural tendo esta 100 árvores quando nasceu, e verificou que o número de árvores passou para 200.
    1. Quantos anos tinha o Sr. Jaime quando fez esta afirmação?
    2. Durante quanto tempo se manteve este número constante?
    3. É possível indicar o valor exacto da idade do Sr. Jaime?

Adaptado de MATEMÁTICA 12º Ano - PORTO EDITORA, FUNÇÕES 3 - pág. 229

 

Proposta de Resolução

 

Introdução
Com o propósito de alertar para algumas dificuldades e polémicas inerentes às limitações e imperfeições na representação da realidade, sugere-se a leitura de alguns textos, certamente já conhecidos.
Indicam-se ainda alguns recursos possíveis para a exploração da modelação e o uso das tecnologias. 		 

 

O Sr. Jaime...
e uma situação real
... ou virtual?


     
 

Quantas árvores tinha inicialmente a reserva natural?

  
Aberto o modo de gráficos, podemos definir a função considerada:

Representando a função numa janela de visualização adequada, com o comando Trace, por exemplo, podemos saber quantas árvores tinha inicialmente a reserva natural:

Inicialmente, a reserva natural era constituída por 40 árvores.

  

 

  


     
 

Em que momento t a população aumenta mais rapidamente?

  
Sem qualquer preocupação pelo facto de na realidade a variável N não ser efectivamente uma variável contínua, podemos prosseguir:

Por observação do gráfico e no intervalo considerado, constatamos que a população da reserva aumenta com o decurso do tempo. Esse aumento vai crescendo desde o instante inicial, mas há uma altura a partir da qual esse crescimento vai sendo cada vez menor. Esse momento observa-se na mudança da concavidade do gráfico, que ocorre antes do final do primeiro século.

Podemos, de imediato, confirmar esta observação, com recurso ao comando Trace, depois de seleccionarmos "Derivative ON", no SET UP:

Para um melhor esclarecimento, podemos ainda tabelar um conjunto de valores da taxa de crescimento da população:

Os valores encontrados permitem concluir que o maior aumento da população ocorreu durante o 89º ano a contar do início estabelecido, admitindo, portanto, que o 1º ano é o período correspondente a t pertencente ao intervalo [0, 1].

Tentemos confirmar o acabado de afirmar recorrendo à visualização dos gráficos da função primeira derivada, que traduz a taxa de crescimento da população, e da função segunda derivada:

Nota: Observe-se como se manifesta claramente no gráfico da segunda derivada e nos valores indicados as limitações de cálculo da calculadora.

Os gráficos seguintes, elaborados no Graphmatica, permitem observar as representações destas três funções com maior pormenor.



Dada a grande diferença de valores, podemos tentar uma representação parcial das três funções usando uma escala semi-logarítmica:

Nota: O gráfico de N'' está representado incompletamente, pela impossibilidade de representar logaritmos de números não positivos.

  

 

 

 

A função primeira derivada é definida por:

 

A função segunda derivada é definida por:

com a=0,98.

 

 

Assim,

donde,

 

Momento para o qual o número de árvores é exactamente 140:

 

 

  


     

Consideremos agora outro ponto de vista:

Vejamos como decorre o tempo em função do aumento do número de árvores, isto é, consideremos a função inversa de N:

com N maior ou igual a 40.

Apresenta-se de seguida as representações gráficas das duas funções consideradas.


Perto do ponto de inflexão, calculando as taxas médias de variação da função t em intervalos de extremos correspondentes ao aparecimento das árvores, obtemos o seguinte conjunto de valores aproximados:

Intervalo Taxa média de variação
[135, 136] 0.70785315638340927635
[136, 137] 0.70756404988207275023
[137, 138] 0.70734737493989183474
[138, 139] 0.70720299868868127630
[139, 140] 0.70713083266260947545
[140, 141] 0.70713083266260947545
[141, 142] 0.70720299868868127630
[142, 143] 0.70734737493989183474
[143, 144] 0.70756404988207275023
[144, 145] 0.70785315638340927635

Concluímos, portanto, que entre o nascimento das 139ª e 140ª árvores, quer entre o nascimento das 140ª e 141ª árvores, foram os espaços temporais em que a população da reserva aumentou mais rapidamente.

Esses períodos correspondem, em anos, a:

isto é, aproximadamente a 258 dias.


Portanto, foi nos intervalos (em anos)

[t(139), t(140)] e [t(140, t(141)]

que a população da reserva aumentou mais rapidamente.


A seguir apresenta-se a cadência, em dias, como a população da reserva vai aumentando, perto do espaço temporal onde a mesma aumentou mais rapidamente:

  

A simetria existente na tabela ao lado e abaixo não é de estranhar, dadas as simetrias que os gráficos das funções de variável real definidas por N e t parecem possuir relativamente aos seus pontos de inflexão.

Em particular, dado que os gráficos são simétricos relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares (são funções inversas), vamos apenas provar a suposição para a função real de variável real definida por t.

As coordenadas do ponto de inflexão do gráfico de t são:

Se efectuarmos uma translação desse gráfico associada ao vector

obtemos sucessivamente as seguintes expressões analíticas:

e

Portanto, sendo ímpar a função real de variável

está provado o que se pretendia mostrar.

Entre o nascimento das 139ª e 140ª árvores, quer entre o nascimento das 140ª e 141ª árvores, foram os espaços temporais em que a população da reserva aumentou mais rapidamente.





  


     
 

Quantos anos tinha o Sr. Jaime quando fez esta afirmação?

  
Como o Sr. Jaime nasceu quando havia 100 árvores, terá então nascido no intervalo:

[t(100), t(101)[

E terá feito essa constatação no intervalo:

[t(200), t(201)[

Ou seja, nos intervalos que se poderão obter aproximadamente das tabelas seguintes:

Donde podemos determinar:

Assim, podemos concluir que o Sr. Jaime poderia ter 73, 74 ou 75 anos de idade quando constatou que a reserva possuía 200 árvores.

 


Presume-se que se pretende saber que idade tinha o Sr. Jaime quando constatou que a reserva possuía 200 árvores.

 

 

A mesma conclusão seria obtida caso se utilizasse a função fornecida inicialmente:

  


     
 

Durante quanto tempo se manteve este número constante?

  
Vejamos agora durante quanto tempo a população se manteve com 200 árvores. De acordo com valores calculadores previamente, temos:

t(201)-t(200)=134,91342927-134,04392582=0,8695034 anos

Ou seja, aproximadamente durante 317 dias a população da reserva foi de 200 árvores.

  

 

  


     
 

É possível indicar o valor exacto da idade do Sr. Jaime?

  

De acordo com as conclusões anteriores, podemos afirmar que não é possível, com o modelo seleccionado e a informação disponível, indicar o valor exacto da idade do Sr. Jaime, quando constatou que a população da reserva passara a ter 200 árvores.

  

 


     
 

Conclusão

  
A variável número de árvores existentes na reserva é uma variável discreta. Caso optássemos por considerar um modelo mais adaptado a essa circunstância, poderíamos ter escolhido:

De qualquer forma continuaria a não ser possível responder com exactidão à última questão formulada. Serviria, contudo, para tentar impedir uma resposta desprovida de significado, quanto à segunda questão.

  


"A Ciência é um processo de representação do Mundo, sempre sujeito a reformulação. A linguagem matemática desempenha em muitas ciências um papel fundamental nessa representação."
Vítor Duarte Teodoro

 

Folha de cálculo com outra alternativa de resolução.

  


     
 

E a sua opinião, qual é?

  

O Sr. Jaime...
e uma situação real
... ou virtual?

  


 
     
Ficheiro do FX-INTERFACE com as capturas de ecrã e funções usadas na resolução desta proposta de trabalho.      

 

Actualizada em
 21-06-2000